Итак, пентагональная теорема Эйлера сформулирована. Осталось её доказать.
Я знаю два её доказательства. Первое чуть более "лобовое": давайте раскроем все скобки в левой части — в произведении всех (1-q^j), и посмотрим, из чего складывается коэффициент при q^n. А именно — вклад получается из разложения n в сумму различных слагаемых. Причём из-за минусов перед каждым q^j разложение входит со знаком, отвечающим чётности числа слагаемых.

Поэтому в чуть-чуть изменённом виде пентагональная теорема звучит так: для всех n, кроме появляющихся в правой части тождества, число N_E(n) способов разбить n в сумму чётного числа различных слагаемых совпадает с числом N_O(n) способов разбить в сумму нечётного числа различных. А для появляющихся в правой части N_O(n) и N_E(n) отличаются на 1 (в нужную сторону).