P.S. Ссылки к этому рассказу — https://math.stackexchange.com/a/3540 + https://math.stackexchange.com/a/3498 ; за них ещё раз спасибо Александру Шпилькину.

Ещё пара замечаний в заключение. Во-первых, пуассоновский процесс (по конечной мере μ на любом множестве X) можно строить ещё так: сначала решить, сколько всего M точек будет, "кинув пуассоновский кубик" с параметром μ(X), а потом выбрать в X равномерно по нормированной мере (1/μ(X))μ эти M точек независимо друг от друга.

А если мера только локально-конечная (как мера Лебега на прямой или на луче [0,\infty)), то можно разрезать пространство на кусочки конечной меры и применить эту конструкцию в них по отдельности. (Кстати, не-атомарность меры тут уже не требуется, если мы готовы для атомов говорить, что в них выбирается больше одной точки.)

И — история, за которую спасибо @qtasep. Вообще, если мы возьмём квадрат [0,1]^2 и накидаем в него довольно точек (можно сказать, запустив пуассоновский процесс, а можно — сначала решить, сколько именно их будет, а потом просто выбрать такое количество точек независимо и равномерно) — они будут расположены, "на глаз", довольно неравномерно (просто потому, что где-нибудь да будет зона, где выпало побольше, а где-то поменьше; это, наоборот, идеальная равномерность пуассоновскому вытаскиванию противоречила бы). Вот пример такого "накидывания равномерно-независимых точек" (здесь их 100) :