Так вот, когда мы этот интеграл считали, мы нарезали всё на отрезки x+y=s. И оказывалось, что интеграл по одному такому отрезку — это
s^{a+b-1}*B(a,b)/(Г(a)Г(b)).
А второе интегрирование тогда даёт
Г(a+b)*B(a,b)/(Г(a)Г(b)),
и из равенства 1 и получается искомый ответ.
Так вот, на вероятностном языке это переговаривается так:
1) свёртка двух гамма-распределений (a.k.a. распределение суммы независимых случайных величин с такими распределениями) — это гамма-распределение с суммой параметров. Потому что мы, собственно, и получили плотность для s=x+y как гамма-распределение с параметром a+b.
2) условное распределение x при условии x+y=s — это растянутое в s раз одно и то же бета-распределение на отрезке [0,1]: распределение на отрезке [0,1] с плотностью
1/B(a,b) x^{a-1} (1-x).