Вот мы ответ на первый вопрос и получили: (1/n!) x^n e^{-x} это плотность распределения n+1-й точки для пуассоновского процесса единичной интенсивности — и поэтому (полная вероятность!) совершенно естественно, что интеграл от неё равен 1.

Кстати — если мы k+1-ю точку x_{k+1} мы знаем, то при этом условии набор предыдущих точек получается таким же, как если бы мы на отрезок [0,x_{k+1}] равномерно кинули k независимых точек, а потом бы их упорядочили по возрастанию (вот, кстати, ещё один способ увидеть факториал в знаменателе). Например, потому что при делении на N интервалов и при подкидывании соответствующих монеток все конфигурации "k успехов, N-k неудач" равноправны.