А именно — пусть у нас пуассоновский процесс с единичной интенсивностью. Давайте посмотрим на плотность распределения (k+1)-го по порядку момента распада. Так вот, это в точности
ρ(x)=(1/n!) x^n e^{-x}.
Потому что — чтобы (k+1)-й распад попал в маленький отрезок от x до x+dx, нужно, чтобы
1) в этом отрезке распад произошёл — вот отсюда вероятность dx
2) до того распадов было ровно k — а вот отсюда всё остальное.