Продолжим?
Мы посчитали этот интеграл вероятностными методами. Но тут остаются два вопроса.
Во-первых: мы начали с того, что
n! = Г(n+1) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx.
А почему это так? Можно (и несложно!) доказать это просто по индукции — интегрированием по частям; но может быть, есть ещё какое-то объяснение?
Во-вторых: для вычисления исходного интеграла у нас теперь есть два способа — "вероятностный" и "классический". А нельзя ли их как-то объединить? Оказывается, что можно!
Но и для того, и для другого нам потребуется новый объект, пуассоновский процесс.
Post #3656
722
Математические байки С другой стороны, все случайные величины x,\xi_1,...,\xi_m,\eta_1,...,\eta_n — совершенно равноправны. А мы хотим, чтобы раскраска "первые m по величине в красный цвет, m+1-я в чёрный, оставшиеся n в синий" совпала бы с раскраской "x в чёрный цвет, \xi_i в…