С другой стороны, все случайные величины x,\xi_1,...,\xi_m,\eta_1,...,\eta_n — совершенно равноправны. А мы хотим, чтобы раскраска "первые m по величине в красный цвет, m+1-я в чёрный, оставшиеся n в синий" совпала бы с раскраской "x в чёрный цвет, \xi_i в красный, \eta_j в синий". То есть вероятность это 1/число таких раскрасок. А число таких раскрасок — это мультиномиальный коэффициент: число способов разбить (m+n+1) элемент на группы из m, n и 1 элемента, которое равно (m+n+1)!/(m!*n!).
Вот мы и получили, что интеграл
\int_0^1 x^m (1-x)^n dx
равен
m!*n!/(m+n+1)!