То есть, обойдя сначала вокруг M, потом вокруг m, мы к исходному отсекаемому объёму V(c) прибавили константу: удвоенную полную площадь всего овала (2V_0).
Тогда, если сделать такой парный обход ещё раз, то мы добавим ещё столько же, те же 2V_0; например, потому, что продолжение 2V_0 + V(c) это всё равно, что константа 2V_0 плюс продолжение V(c).
Сделав парный обход ещё раз — добавим ещё столько же, и продолжать так можно неограниченно.
Но это как раз противоречит алгебраичности отсекаемой площади V(c) — если бы она была алгебраической, то любому c можно было бы сопоставить лишь конечное число значений — корней полинома P(c,V)=0, который задаёт "график" V(c). А у нас этих значений счётное число (потому что "парных обходов" можно сделать сколько угодно) — вот и получилось противоречение, которое доказывает теорему Ньютона.
Post #3623
650
Математические байки Теорема Ньютона: нет на плоскости такой "хорошей" (бесконечно гладкой и алгебраической) выпуклой кривой, чтобы отрезаемая от неё секущей прямой площадь была бы алгебраической функцией от коэффициентов уравнения прямой.