Понять, что выкладки через цепную дробь приводят к тому же результату, не очень сложно. Действительно, когда мы делим с остатком, то знаки P_j и P_{j+1} отличаются на знак неполного частного Q_j (а P_{j+1} слишком мал, и ни на что не влияет). Соответственно, если многочлен Q_j в данной (плюс или минус) бесконечности отрицателен, то перемена знака между P_j и P_{j+1} там есть, а если положителен, то нет. Вот и получается, что когда мы считаем разницу между числом перемен знака в минус и в плюс бесконечности, то Q_j чётной степени вклада не дают (ибо они в бесконечностях одного знака), а Q_j нечётной степени дают вклад, равный знаку старшего коэффициента.

Так что ответы "через цепную дробь" и "через перемены знаков" для числа всех вещественных нулей (и для топологической степени рациональной функции R=P_1/P_2) совпадают. Уже хорошо.

Но хотелось бы как-то понять, как о переменах знака думать в топологических терминах — при том, что для отображения отрезка о степени уже говорить нельзя, у него концы есть.