Да, если P_1 и P_2 произвольные без общих корней, то большая часть рассуждения выше тоже работает. Только разница в числе перемен знака на отрезке [a,b] считает не просто корни P_1 — а корни P_1 со знаком: если в корне P_1' и P_2 одного знака, то мы его считаем с плюсом, а если разного, то с минусом. (Потому что именно так пересечение корня P_1 меняет число перемен знака — а пересечение корней всех остальных P_j, как и раньше, ничего не меняет.)