Так что переходы значений "внутренних" полиномов через ноль на число перемен знака не влияют. P_n=1 через ноль перейти вообще не может, это константа. Остаётся только P_1.
А значение многочлена P переходит через ноль — правее корня знак у P такой же, как у его производной P' в этом корне, а левее корня противоположный. Поэтому как раз при переходе через ноль P (и только там) число перемен знака уменьшается на единицу. Теорема Штурма доказана.

Осталось это склеить с тем взглядом, который у нас был раньше.