Посмотрим сначала на классическое доказательство теоремы Штурма. Если мы говорим о том, что число корней P на отрезке [a,b] выражается через изменение на этом отрезке числа перемен знака — так очень естественно спросить себя, а как вообще число перемен знака N(x) меняется, когда меняется x?
Естественно, что меняться оно может только если меняет знак какой-то из многочленов P_j. Но — и это замечательно — если меняет знак (переходя через ноль) любой P_j, кроме P_1, то число перемен знака не меняется.
Действительно, пусть в точке x_0 обращается в ноль какой-то P_j, и j>1. Его соседи тогда в этой точке не обращаются в ноль: иначе там обратились бы в ноль и все полиномы вообще, а у P_1 и P_2 нет общих корней.
Но заметим, что его соседи противоположного знака: ведь
P_{j-1} + P_{j+1} = P_j * Q_{j-1},
раз правая часть обратилась в ноль, то и сумма соседей P_{j-1}+P_{j+1} в точке x_0 обращается в ноль.
А тогда неважно, какой у P_j рядом с x_0 знак — всё равно на P_{j-1},P_j,P_{j+1} приходится ровно одна перемена знака!
И мы, собственно, такое уже видели, когда смотрели на пример P(x)=x^2: рядом с x_0=0, где обращается в ноль производная P_2=2x, число перемен знака не менялось:
===
-0.1: -,-,+; 1 перемена;
0.1: -,+,+; 1 перемена;
===