Продолжим?
Вот мы, применяя алгоритм Евклида, получили последовательность P_j, начинающуюся с наших P_1=P и P_2=P' (ну или абы каких P_1 и P_2, если мы ищем топологическую степень произвольной рациональной функции R=P_1/P_2). И её можно определить вот такой цепочкой:

P_1+P_3 = P_2 * Q_1,
P_2+P_4 = P_3 * Q_2,
P_3+P_5 = P_4 * Q_3,
...
и заканчивается она на каком-то P_k=const, и P_{k+1}=0.

Давайте для каждой точки x рассмотрим последовательность значений P_1(x), P_2(x), ..., P_k(x),
и обозначим через N(x) число перемен знака в этой последовательности: сколько раз + меняется на - и наоборот.

Классический способ формулировать теорему Штурма — как раз в терминах числа перемен знака:

Теорема Штурма. Пусть P — многочлен без кратных корней, не обращающийся в ноль в точках a и b. Тогда число корней P на отрезке [a,b] равно N(a)-N(b).

(А полное число вещественных корней это N(-\infty)-N(\infty), благо что знак полинома на плюс-минус бесконечности определить не проблема.)

Пример: возьмём P(x)=x^2-1. Тогда P'(x)=2x, и мы получаем последовательность
P_1=x^2-1,
P_2=2x,
P_3=1 (помните про смену знака у остатка!).

Последовательность знаков в разных точках и число перемен знака:
-\infty: +,-,+; 2 перемены;
-2: +,-,+; 2 перемены;
-0.5: -,-,+; 1 перемена;
-0.1: -,-,+; 1 перемена;
0.1: -,+,+; 1 перемена;
1.5: +,+,+; 0 перемен;
\infty: +,+,+; 0 перемен.

Уже из бесконечностей мы видим, что число перемен знака меняется между +\infty и -\infty на 2, так что у многочлена x^2-1 два вещественных корня. Более того, такое же число перемен знака между -2 и 1.5, так что они живут на этом отрезке. Причём один из них живёт на отрезке [-2,-0.5], а второй на отрезке [0.1,1.5]. Большой прогресс!

Но если серьёзно — мы только что научились алгоритмически (и довольно просто!) искать (с любой нужной точностью) все корни вещественного многочлена. Начинаем с какого-нибудь отрезка, на котором они гарантированно все лежат (за пределами которого старший член a_n*x^n превышает по модулю сумму модулей всех остальных), а потом запускаем деление пополам, последовательно деля каждый отрезок, на котором число перемен знака меняется.

Осталось
а) доказать;
б) понять, как этот подход "склеивается" с предыдущим.