С другой стороны, я мог бы не говорить про "число оборотов", а сразу определить степень как число прообразов с учётом знака. И тогда была бы нужна "проверка корректности": во-первых, почему такая точка p есть (у которой все прообразы с ненулевой производной), а во-вторых, почему две разные точки будут приводить к одному и тому же результату.

И тогда для первой части корректности нужно было бы сказать, что множество тех p, у которых хотя бы в одном прообразе производная f нулевая — иными словами, множество критических значений f — имеет меру ноль.
В некоторых кавычках — потому что его мера оценивается сверху интегралом от |f'| по множеству критических точек — но интегрируем-то мы ноль!
А чуть более аккуратно — покрываем множество критических точек маленькими интервалами с суммой длин, близкой к его мере; когда мы применяем f — длина образа каждого интервала оценивается по теореме Лагранжа, как длина самого интервала * что-то очень маленькое (потому что где-то там f'=0). Так что сумма длин образов оказывается сколь угодно малой — и вот и мера ноль.