Давайте я начну обещанный рассказ про степени отображений и про теорему Штурма.

Вот допустим, нам задан какой-нибудь многочлен. С явными — целыми или рациональными — коэффициентами, но не второй-третьей-ну допустим, четвёртой степени, а выше, так что никакой формулы для корней нет. Как можно узнать, сколько у него вещественных корней? Или — сколько у него корней на конкретном отрезке [a,b]?

Собственно, вот конкретный пример: рассмотрим многочлен
P(x) = 2 x^5 - 5 x^4 - 4 x^3 + 22 x^2 - 21 x + 6.
Сколько у него вещественных корней?

Так сразу не скажешь. Даже если построить график — точнее, попросить компьютер это сделать — тоже ответ не то, чтобы сразу очевиден: