И очень красивое доказательство, — его можно прочитать в статье Протасова в "Кванте" (http://kvant.mccme.ru/pdf/2014/2014-56.pdf ), но ещё и вот тут есть видеозапись (http://www.mathnet.ru/present19870 ) его лекции на закрытии ММО, и там же ( http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf ) выложены слайды от неё — так вот, очень красивое доказательство обобщает это рассуждение на случай общих окружностей с помощью инвариантных мер.

Вот его ключевой момент:
Лемма. На внешней окружности можно устроить такое распределение масс с некоторой линейной плотностью \rho(x), что полная масса дуги, отрезаемой любой касательной к внутренней окружности, всегда одна и та же.

Иными словами — представим себе, что внешняя окружность сделана из проволоки, причём переменной толщины. Так что линейная плотность у неё в одних точках одна, а в других другая. А внутренняя окружность — вкопанный гладкий столб. И мы по-разному отрубаем дугу внешней окружности секущей, проходящей впритирку к столбу.
Так вот — можно так подобрать эту переменную толщину проволоки (и, соответственно, переменную линейную плотность), что как бы мы ни отсекали дугу касательной к столбу, её полная масса будет одной и той же.