Давайте я добавлю пару слов про теорему Понселе; кажется, формулировку её я знал ещё то ли со школы, то ли с младших курсов универа, — но вот доказательство с мерой (первое из упоминающихся выше) узнал как раз от Протасова, из его лекции на олимпиаде Шарыгина (сразу после ЛШСМ-2018).

Формулируется она очень просто — пусть у нас есть две окружности, одна внутри другой. Мы берём точку на внешней окружности и начинаем из неё строить "звёздочку", каждый раз проводя касательную к внутренней окружности и продлевая её до второго пересечения с внешней.

Теорема Понселе утверждает, что если такая цепочка замкнётся для какой-то одной начальной точки, то она замкнётся для любой другой (и через такое же число шагов). Более того, то же самое верно и если вместо окружностей будут и просто коники ( = кривые второго порядка).