Возвращаясь к диофантовости всех перечислимых множеств — собственно говоря, идея "сертификата" работает и тут.

А именно — представим себе, что какая-то машина долго-долго работала и наконец закончила работу. Давайте соберём все состояния её "регистров" во все моменты времени в один "протокол" ("в момент времени t=1 состояние такое-то; в момент t=2 состояние такое-то; ..."). Так вот — машина заканчивает работу за конечное время тогда и только тогда, когда существует конечный "протокол", в котором в начальный момент времени стоит её начальное состояние, корректно выполнен переход от каждого момента к следующему, и конечное состояние соответствует команде "стоп". Этот "протокол" мы и захотим добавить в дополнительные переменные.
Правда, мы не знаем, сколько машина будет работать — но не страшно, просто пусть у нас будет система счисления с большим-большим основанием N, а последовательные состояния машины — последовательными "цифрами" в записи одной из переменных в этой системе счисления. Собственно, мы уже применили почти этот подход к выражению биномиальных коэффициентов — только тогда мы "доставали" из большого числа (N+1)^M одну его цифру, а тут придётся научиться работать со всеми цифрами одновременно, каким-то образом одновременно обеспечивая, что переход от каждого момента времени t к следующему t+1 корректен.
В качестве одного из шагов возникает теорема Куммера о делимости биномиальных коэффициентов на простые: