Если бы такой способ проверки существовал — например, его применение позволяло бы для любого фиксированного n>2 доказать теорему Ферма (потому что это вопрос о разрешимости полиномиального уравнения x^n+y^n-z^n=0). Было бы возможно за конечное время (и без дополнительных идей) как-то проверять, представимо ли число в виде суммы трёх кубов целых чисел (которые могут быть и отрицательными, так что это не конечная проверка), например, представимы ли 33 (https://www.quantamagazine.org/sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326 , https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf ) или 42 (https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0 ).
Позволять проверить существование решения в натуральных числах у уравнения
x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) = 4
(если вы не видели, то это совершенно прекрасная история — см. https://t.me/cme_channel/198 + https://habr.com/ru/post/335248/ + https://www.quora.com/How-do-you-find-the-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit?share=1 ).
И так далее.