В прошлый раз мы прошли по одной тропинке, начинающейся с этого вопроса; а в этот раз давайте пройдём по другой, начинающейся со слов "простые числа" и "значения многочлена".

Не-постоянный многочлен одной переменной, как мы видели, не может принимать в целых точках только простые значения. То же самое правда для многочлена нескольких переменных — иначе можно просто выбрать какое-нибудь направление и рассмотреть P(n,n,n) или P(n,2n,3n), и т. д. — сведя эту невозможность к уже доказанной невозможности для многочлена одной переменной.

Ну или можно перенести одномерное доказательство: сказать, что если для многочлена P с целыми коэффициентами выполнено
P(n_1,...,n_k)=p,
то для любых a_1,...,a_k значение
P(n_1+a_1 p,...,n_k+ a_k p) делится на p,
и почти ни при каких a_j простым поэтому быть не может.

Но — если нас интересуют простые числа, то можно автоматически отбрасывать неположительные значения. Для многочленов одной переменной тогда уже можно получить больше одного простого значения: 17-10*n^2 принимает положительные значения 17 и 7 — и все положительные значения простые. Но вот все простые числа (и даже просто бесконечное их число) получить так, чтобы все положительные значения были простыми, у многочлена одной переменной не получится.

А что, если переменных много? Оказывается, тогда такой многочлен существует!