Mathematical Musings

Another shiny new AI proof...which says that a polynomial with coefficients chosen randomly from {0,1} is irreducible.
AI disclosure statement:
“The proofs are due to GPT-6 Astra”.

می‌گه: نمی‌تونم جای همه حرف بزنم، ولی کیف می‌کنم یه مقاله مثل این رو می‌بینم. حس
AI-related angst
بهم نمی‌ده. ولی یه سوالی پیش اومده واسم:

how would a journal respond to this paper as a submission?

https://galoisrepresentations.org/2026/09/27/ai-disclosures-done-right/

آقای ولفرام اولین مقاله‌اش رو بعد از مرگ همسرش نوشته و به آینده ریاضیات محض در زمانه AI اختصاص داده. می‌گه: کلافه شدم از این اظهارنظرها که می‌گن دیگه نیازی به انسان نداریم که پژوهش ریاضی انجام بده و همه رو می‌دیم به AI. نه می‌دونند ریاضی چیه و نه می‌فهمند AI چیه.
می‌گه سال ۱۹۸۸ که Mathematica رو معرفی کردیم همین حرف‌ها رو می‌زدند. اگه فکر می‌کنید حل یه سری انتگرال یعنی انجام ریاضی، آره، Mathematica جای انسان رو گرفته.
می‌گه یه زمانی می‌رسه که خیلی از مشکلاتی که امروز با اون‌ها مواجه هستیم، فراموش می‌شه ولی ریاضی محض همچنان داره می‌درخشه.
https://writings.stephenwolfram.com/2026/09/whats-the-future-for-pure-math-research-in-the-age-of-ai/

اون رویداد رو به این نتیجه رسیدند که theme اش رو تا حدی عوض کنند:
Old Problems, New Proofs
می‌گن یه سری قضیه هست در ریاضی که اثبات‌شون راضی‌کننده نیست. یکی از این قضیه‌ها رو انتخاب می‌کنند و می‌رن سراغ اثبات اون. بعد هم ۲ ماه وقت دارند اثبات جدید یا توضیح جدید ارائه بِدن.
The explainer can take any form: a paper, a blog post, a video, an interactive game,...

می‌گن کلی
ridiculously long proofs
توی ریاضیات هست که با AI می‌شه رفت سراغش.
https://terrytao.wordpress.com/2026/09/28/joint-statement-about-mathathon/

دو تا زندانی توی یه سلول مثلثی به دیوار بسته شدند. قاعده سلول آینه است. یه دیوار عمودی هم اون‌ها رو از هم جدا کرده. هر کدوم از اون زندانی‌ها می‌تونه از یه سوراخ، گوشه روبرو رو ببینه. ثابت کنید می‌تونند از راه سوراخ دیگه‌ای که در قسمت پایینی اون دیوار هست، همدیگه رو ببیند.
۲۰۴ تا مساله هندسه.
https://buck.mirangu.com/

بیست سال پیش به مردم می‌گفتی: "هوش‌مصنوعی کنترل همه چیز رو در اختیار می‌گیره" می‌گفتند خیال‌پردازیه.
می‌گفتند همین‌جوری که نمی‌شه، قبلش باید یه نشونه ببینیم. باید از کنترل خارج بشه، چیزی رو هک کنه، یه مساله بزرگ ریاضی رو حل کنه. هر وقت این اتفاق‌ها افتاد بیدارم کن!
ولی تموم اون پیش‌بینی‌های عجیب‌وغریب اتفاق افتاد. الان شده یه سمفونی که اوج گرفته و هم شگفتی ایجاد کرده و هم وحشت. برای انکارش باید آدم خاصی باشی!
هر بار برای انکارش این رو می‌گن:
" هر وقت هوش مصنوعی کاری رو که تا حالا انجام نداده، انجام داد، بیدارم کنید"
من از بازی جابه‌جا کردن خط پایان متنفرم. موضع من در مقابل AI اینه:
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.
آره، من هنوز ماشین‌ظرف‌شویی رو با دست خالی می‌کنم، ناخن‌هام رو خودم می‌گیرم. از اون طرف با توجه به سال‌هایی که از عمرم باقی مونده اگه بخوام یه قضیه اثبات کنم فقط واسه لذت یا یادگیری این کار رو می‌کنم.
بیاین یه کاری کنیم. بریم بیست سال پیش. من خبرهای این چند ماه رو بهتون اعلام می‌کنم. قبول دارید یه
Singularity
اتفاق افتاده؟ به نظرم جواب صادقانه اینه: بله. اگه واسه شما هم "آره" دیگه اون تبر ایدئولوژیک‌تون رو بذارین کنار و دست از سر آلتمن و بقیه بردارید.
https://scottaaronson.blog/?p=10062

می‌گه حیوانات هم درک فضایی دارند. شامپانزه از اهرم استفاده می‌کنه، کلاغ یه درکی از حرکت داره، سگ هم در مسیریابی حرفه‌ای هست. ولی خب
Why do they not end up with calculus?
فاصله یه شامپانزه و بچه انسان کمتر از فاصله همون بچه و یه ریاضیدانه.
به خاطر اونه که اونا توانایی
externalize
کردن شناخت رو ندارند. توانایی انتقال اون رو ندارند. توانایی درک کنش دیگری رو ندارند. توانایی اینکه فرد ماهرتر فرد ضعیف‌تر رو در محدوده توانایی‌هاش حمایت کنه ندارند و اینکه در انسان‌ها انباشت اتفاق می‌افته. نسل بعد مجبور نیست از صفر شروع کنه.
شامپانزه می‌تونه از اهرم استفاده کنه، ولی نمی‌تونه با یه نمادگذاری به بچه‌اش حالی کنه تعادل چیه؟
ولی در انسان و در ریاضیات انسانی
memetatic accumulation
داریم. با هر حرکت از تجربه اولیه دورتر می‌شیم. Calculus کجا و الاکلنگ کجا؟ اما بالاخره اون زنجیره به خاطر انتقال و انباشت، کامل می‌شه:
الاکلنگ، عدد، تناسب، حساب، جبر، تابع، مفهوم تغییر و Calculus.
https://substack.com/home/post/p-217167970

از کتاب
Matrix Methods in Data Analysis
کتاب جدید انتشارات Springer

The Poincaré conjecture is now formalized in Lean.
حدود ۴.۷ میلیون خط کد‌.
https://github.com/qinz1yang/differential-geometry

به نظر من اینکه صرفا بپرسیم "کسی
chat log
ها رو خونده یا نه؟" سوال اصلی نیست. گاهی یه بیت اطلاعات باعث می‌شه به این نتیجه برسیم که یه روش با AI شدنی هست. همین اطلاعات ساده می‌تونه روی تصمیم‌گیری شما برای صرف وقت برای مساله تاثیر بذاره. لازم نیست جزئیات اثبات یا مکالمه اون‌ها رو داشته باشید. خود OpenAI اعلام کرده که یه سری شایعه درباره پیشرفت برای حل اون مساله، باعث شد تلاش کنه برای حل اون.
https://mireshghallah.github.io/blog/what_ai_labs_do_with_your_data.html

محاسبه این انتگرال:
∞
∫ sin(x)/x dx
0
کسی که کم تجربه‌تر هست، می‌گه برم یه جز به جز بزنم. با یه کم تلاش متوجه می‌شه: نه! دلیل داره: اون تابع رو نمی‌تونی انتگرالش رو با توابع مقدماتی بیان کنی (این خودش یه قضیه است).
یه راه حمله اینه که
generalize
کنیم مساله رو. چرا فقط خط حقیقی؟ چرا صفحه مختلط نه؟ ولی اونم کاری نداریم باهاش.
H(t)=
∞
∫  e⁻ᵗˣ sin(x)/x dx
0
سوالی که می‌خواستیم حل کنیم همون
H(0)
هست. از H(t) مشتق می‌گیریم نسبت به t:
H'(t)=-1/(1+t²)
اینجا جز به جز جواب می‌ده و بعدش هم
H(0)
رو محاسبه می‌کنیم (خود نویسنده اشاره کرده که به سبک ریاضی‌ عمومی مساله رو حل کرده)
یه راه برای حل مساله‌ها اینه:
Make things general
بیشتر آدم‌ها فکر می‌کنند این کار همه چیز رو بدتر می‌کنه و یه چیزی خلاف شهود هست براشون. ولی همیشه این‌طور نیست. با این کار چیزهای اضافی رو می‌ذارین کنار و کارتون راحت‌تر می‌شه.
https://derangedmathematician.substack.com/p/the-power-of-abstraction

یکی از جالب‌ترین اصلاحیه‌ها توی مجلات ریاضی شاید این مورد باشه:
ریاضیدان معروف
Herstein
که به خاطر کتاب جبرش همه اون رو می‌شناسند یه مقاله می‌نویسه و یه جا از کلمه
damn
استفاده می‌کنه، ولی وقتی مقاله چاپ می‌شه کلمه
darn
رو به جاش استفاده می‌کنند (همون معنی رو می‌ده ولی بهش می‌گن "نیک‌واژه" کلمه اول!)
دلیلش معلوم نیست ولی احتمالا ویراستار مجله تصمیم گرفته کمی متن رو مودبانه‌تر بنویسه. ظاهرا هرشتاین بعدا اعتراض می‌کنه و مجله هم کوتاه میاد.

Erratum: In the article, “On the Ph.D. in Mathematics,” by I. N. Herstein, on page 821, line 26, of the August-September 1969 issue of the MONTHLY, please read “damn” instead of “darn.”



ریاضی، آمار و CS رکورد زدند!
توی هر کدوم از subtopicهای ریاضی هم جدا بررسی کرده.
https://substack.com/home/post/p-216510011

درباره نیوتن... می‌گه یک سوم وقتش رو صرف ریاضیات و فیزیک کرده.

۲۴ تا ریاضیدان در یک نشستی در هاروارد دور هم جمع شدند که بررسی کنند در زمانه AI کدوم جنبه‌های دوره دکتری رو باید بازنگری کنیم؟ یه سند اولیه هم تهیه کردند.
۱. دوری دکتری باید اهمیت بده به چیزهایی که هر روز داره مهم‌تر می‌شه: کارگروهی، استفاده از AI و formalization.
۲. مهارت‌های ارتباطی با افراد متخصص و مخاطب عام
۳. ارزیابی باید ترکیبی و براساس امتحان کتبی و حضوری باشه.
۴. باید به دانشجو دسترسی استفاده از AI رو داد، ولی استفاده از اون نباید اجباری باشه.
۵. استاد راهنما باید با دانشجو درباره انتظاراتش دررابطه با AI حرف بزنه.
و موارد دیگه...
https://terrytao.wordpress.com/2026/09/25/recommendations-of-the-summit-on-phd-math-education-in-the-age-of-ai/

ما باید بدانیم، ما خواهیم دانست.
هیلبرت

مدت‌ها فکر می‌کردم، تاکید هیلبرت بر دو کلمه "باید" و "خواهیم" هست. اما حالا بعد از این ماجراهای AI و ریاضیات، فهمیدم که این برداشت درست نیست. تاکید هیلبرت بر "ما" است.
Not AI. Not computers. Not a lean certificate...
https://substack.com/@randomnumbers/note/c-344180678

جدیدا توی یه جمعی با استادها بودیم حرف سر این بود که چطور تمرین بدیم به دانشجوها که تقلب نکنند؟ در هیچ دوره‌ای از تاریخ، تقلب این‌قدر آسون نبوده. خودم توی کافه دانشگاه دیدم دانشجوها رو که دارند تکالیف رو از ChatGPT کپی می‌کنند.
اگه تمرکزمون روی تقلب دانشجو باشه، در این صورت کل دانشجوها رو
potential cheaters
می‌بینیم. کار ما هم می‌شه کشف تقلب. من واسه این کارها معلم نشدم.
یه نظری هست که می‌گه تدریس خوب بیشتر به شخصیت استاد یا معلم بستگی داره تا تکنیک تدریس. من می‌خوام به جای اینکه دانشجوها رو یه مشت خلافکار ببینیم، بگم اونا آدم‌هایی هستند که اومدند یاد بگیرند. شاید اونا "فرشته‌هایی" هستند که مهمون ما هستند!
پ ن: یکی کامنت گذاشته AIها بزرگترین وسیله تقلب توی کل تاریخ هستند ولی بزرگ‌ترین وسیله یادگیری هم هستند.
https://substack.com/@davidlohara/note/c-322275025

یه سال پیش یه حدس رو اثبات کردند و اثبات حدود ۴۰ صفحه‌ای می‌شده. حالا با کمک ChatGPT یه اثبات ۷ صفحه‌ای برای اون حدس یعنی
Talagrand’s convolution conjecture
به دست اومده.
می‌گن نگران شلخته‌نویسی AI در نوشتن اثبات و مقاله نباشید، کم‌کم راه می‌افته.
https://arxiv.org/pdf/2609.11290