Еще одна старая задача с последней Лиги.

В квадрате со стороной 1 лежат 9 непересекающихся прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам большого квадрата. Докажите, что сумма меньших сторон каких-то шести из них не превосходит~2.

интересное решение:

Заметим, что если прямоугольники не пересекаются, то на одну из сторон квадрата проекции этих прямоугольниках не пересекаются. Введём граф, где вершинами будут внутренние прямоугольники, и если у них не пересекаются проекции на вертикальную сторону квадрата, то соединим их ребром красного цвета, а если проекции на горизонтальную сторону квадрата не пересекаются, то соединим их ребром синего цвета (если обе проекции не пересекаются, то соединим ребром любого цвета). Тогда получается полный граф на девяти вершинах, покрашенный в два цвета. В полном двухцветном графе можно выделить одноцветный треугольник. Выделим в нашем графе одноцветный треугольник, среди оставшихся шести вершин есть еще один одноцветный треугольник, который не пересекается вершинами с первым. Возьмем три прямоугольника, соответствующие вершины которых составляют первый треугольник. У этих трёх прямоугольников проекции на одну из сторон не пресекаются, значит три меньшие стороны этих прямоугольников в сумме не больше 1, так как три стороны, проекции которых не пересекаются, в сумме не больше 1.
Для трех прямоугольников во втором одноцветном треугольника так же выполняется, что сумма трёх меньших сторон в каждом прямоугольнике не больше 1. Тогда если мы возьмем шесть этих прямоугольников, то сумма меньших сторон этих шести прямоугольников не превосходит 2.