✨قانون ساخت دنباله ریکامن به طور جامع✨

اولین جملهٔ دنباله برابر است با:
a₀ = ۰
برای به دست آوردن هر جملهٔ جدید، شمارهٔ مرحله را در نظر می‌گیریم.
فرض کنید اکنون در مرحلهٔ n هستیم.
دو حالت وجود دارد:
✨حالت اول

اگر بتوانیم عدد n را از جملهٔ قبلی کم کنیم، به شرط اینکه
حاصل منفی نشود.
قبلاً در دنباله ظاهر نشده باشد.
در این صورت کم می‌کنیم.
یعنی
aₙ = aₙ₋₁ − n
✨حالت دوم

اگر یکی از دو شرط بالا برقرار نباشد، یعنی:
حاصل منفی شود،
یا عدد به‌دست‌آمده قبلاً استفاده شده باشد،
آنگاه مجبور می‌شویم به جای کم کردن، n را اضافه کنیم.
یعنی
aₙ = aₙ₋₁ + n
چرا چنین قانونی انتخاب شده است؟
هدف این بود که دنباله تا حد امکان به عقب حرکت کند؛ اما اگر عقب رفتن امکان‌پذیر نبود، رو به جلو حرکت کند.
به همین دلیل مسیر حرکت دنباله شبیه یک فرد مردد است که مدام سعی می‌کند برگردد، ولی اگر نتواند، جلو می‌رود.
ساخت دنباله مرحله به مرحله
✨مرحله صفر
۰
✨مرحله اول
عدد مرحله = ۱
۰−۱
منفی می‌شود.
پس:
۰+۱=۱
دنباله:
۰، ۱
✨مرحله دوم
عدد مرحله = ۲
۱−۲=−۱
منفی است.
پس:
۱+۲=۳
دنباله:
۰،۱،۳
✨مرحله سوم
عدد مرحله = ۳
۳−۳=۰
ولی صفر قبلاً آمده است.
پس:
۳+۳=۶
دنباله:
۰،۱،۳،۶
✨مرحله چهارم
عدد مرحله = ۴
۶−۴=۲
عدد ۲ جدید است.
پس:
۶−۴=۲
دنباله:
۰،۱،۳،۶،۲
✨مرحله پنجم
۲−۵=−۳
منفی است.
پس:
۲+۵=۷
دنباله:
۰،۱،۳،۶،۲،۷
✨مرحله ششم
۷−۶=۱
اما ۱ قبلاً آمده است.
پس:
۷+۶=۱۳
✨مرحله هفتم
۱۳−۷=۶
۶ قبلاً آمده است.
پس:
۱۳+۷=۲۰
✨مرحله هشتم
۲۰−۸=۱۲
۱۲ جدید است.
پس:
۲۰،۱۲
به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند.
چند جملهٔ اول دنباله

۰، ۱، ۳، ۶، ۲، ۷، ۱۳، ۲۰، ۱۲، ۲۱، ۱۱، ۲۲، ۱۰، ۲۳، ۹، ۲۴، ۸، ۲۵، ۴۳، ۶۲، ۴۲، ۲۱...

ویژگی‌های جالب دنباله:🫶🏽🎀

۱. هیچ عددی دو بار نوشته نمی‌شود.
چون هر بار قبل از کم کردن بررسی می‌کنیم که آن عدد قبلاً ظاهر نشده باشد.
۲. دنباله نه صعودی است و نه نزولی.
گاهی عقب می‌رود و گاهی جلو می‌پرد.
مثلاً:
۲۰ → ۱۲
ولی بعد:
۱۲ → ۲۱
و دوباره:
۲۱ → ۱۱
۳. رفتار آن بسیار غیرقابل پیش‌بینی است.
اگر فقط چند جملهٔ اول را ببینید، تقریباً غیرممکن است حدس بزنید جملهٔ بعدی چیست.
۴. کمان‌های معروف ریکامن
اگر هر دو جملهٔ متوالی را روی یک خط اعداد با یک نیم‌دایره به هم وصل کنیم، تصویری بسیار زیبا ایجاد می‌شود. هر کمان بزرگ‌تر نشان‌دهندهٔ پرش بزرگ‌تر دنباله است و همین تصویر باعث معروف شدن این دنباله در میان علاقه‌مندان به ریاضیات شده است.
آیا همهٔ اعداد طبیعی در این دنباله ظاهر می‌شوند؟
این یکی از سؤال‌های معروف دربارهٔ دنبالهٔ ریکامن است.
تاکنون میلیون‌ها جملهٔ اول بررسی شده‌اند و تعداد بسیار زیادی از اعداد طبیعی در آن دیده شده‌اند، اما اینکه آیا همهٔ اعداد طبیعی سرانجام در این دنباله ظاهر می‌شوند یا نه، هنوز اثبات نشده است. به همین دلیل این دنباله همچنان موضوع پژوهش ریاضی‌دانان است.

@mathbyshima✨
#نکته #دنباله #ریاضی_شگفت_انگیز