🧩 خط کش و پرگار؛ قسمت دوم

گفتیم که خط کش و پرگار تنها ابزارهای مشروع ترسیم از دید اقلیدس هستند. اگرچه این گزاره صحیح است اما حاوی تمام حقیقت نیست. حقیقت این است که در هندسه اقلیدسی حتی خط کش و پرگار هم مشروع نیستند، دست کم نه به آن صورتی که ما آنها را می شناسیم.

خط کش مورد نظر اقلیدس خط کشی است که مدرج نشده است. بنابراین، نه می توان فاصله بین دو نقطه را با آن اندازه گرفت و نه می توان با آن یک نقطه را به اندازه ای معین در صفحه جابجا کرد. این خط کش فقط و فقط به کار کشیدن یک خط مستقیم یا وصل کردن دو نقطه به هم می آید. به همین دلیل است که اولی را به نام خط کش (ruler) و دومی را به نام ستاره (straightedge) می شناسیم.

داستان پرگار اما اندکی پیچیده تر است. پرگار مورد نظر اقلیدس مانند پرگارهای امروزی نیست که وقتی هر دو پای آن از کاغذ برداشته شوند دهنه پرگار ثابت بماند. پرگار اقلیدس پرگارِ افتادنی (divider/collapsing compass) است. به محض اینکه هر دو پای آن از روی کاغذ برداشته شوند، پاهای پرگار به هم می چسبند و دیگر نمی توان دایره ای با شعاع دایره قبلی با آن ترسیم کرد. پس، با این پرگار هم نمی توان فاصله را بر روی صفحه منتقل کرد. خبر خوب اینکه خود اقلیدس با اثبات قضیه ای در کتاب "اصول" (قضیه دوم از کتاب/مقاله اول اصول) هم ارز بودن پرگار افتادنی و پرگار معمولی (rigid compass) را ثابت کرد. پس، پرگار معمولی هم ابزار مشروع هندسه است، اما درباره خط کش باید دقت کرد که تنها برای خط کشی از آن استفاده کنید نه اندازه گیری.

اما آیا نقاله و گونیا برای ترسیم مشروع هستند؟ اصل موضوع چهارم هندسه اقلیدسی می گوید: همه زوایای قائمه برابر هستند. با عنایت به این اصل می توان گونیا را هم از جمله ابزارهای ترسیمی مشروع بدانیم، چرا که گونیا فقط به کار ترسیم زوایای قائمه می خورد و زوایای قائمه هم که با هم برابرند. اما فراموش نکنید که نقاله همچنان نامشروع مانده است، حتی تا به امروز.

حال، برای دست گرمی هم که شده سعی کنید تا مسئله ساده ترسیم نیمساز یک زاویه را با پرگار افتادنی، و نه پرگار معمولی، حل کنید.