#ریاضیات #قضیه_اقلیدس #اعداد_اول


✨Thursday
💡 یک قضیه، یک برهان


📜 قضیهٔ اقلیدس ؛ اعداد اول هیچ‌گاه تمام نمی‌شوند!

حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ادعایی کرد که هنوز هم یکی از زیباترین نتایج ریاضیات به شمار می‌رود:

🛎 اعداد اول بی‌نهایت‌اند.

⁉️ اما چگونه این را ثابت کرد؟

فرض کنید فقط تعداد محدودی عدد اول وجود داشته باشد:

2, 3, 5, 7, 11, ...

🔹️حالا همه‌ی آن‌ها را در هم ضرب کنید و به حاصل، 1 اضافه کنید.

🔹️عدد جدید بر هیچ‌یک از اعداد اول قبلی بخش‌پذیر نیست؛
چون اگر آن را بر هر کدام تقسیم کنیم، همیشه باقیمانده 1 خواهد بود.

🔔 پس دو حالت بیشتر وجود ندارد:

1️⃣ یا خود این عدد، اول است؛

2️⃣ یا یک مقسوم‌علیه اول جدید دارد که در فهرست اولیه نبود.

در هر دو حالت، به یک عدد اول تازه می‌رسیم و فرضِ "تعداد محدود اعداد اول" نقض می‌شود.

بنابراین:

اعداد اول پایانی ندارند. ▪️


✨ چرا این قضیه مهم است؟

پایهٔ بسیاری از شاخه‌های نظریهٔ اعداد است.

🔹️امنیت بخش بزرگی از اینترنت و رمزنگاری مدرن بر خواص اعداد اول استوار است.

🔹️این برهان نمونه‌ای درخشان از برهان خلف است؛ روشی که در آن با فرض نادرست شروع می‌کنیم و به تناقض می‌رسیم.


💬 سؤال:
بنظر شما، اگر اعداد اول بی‌نهایت‌اند، آیا راهی وجود دارد که بتوانیم "عدد اول بعدی" را سریع پیدا کنیم؟



❖⟡❖───⟢❁⟡❁⟣───❖⟡❖
انجمن علمی دانشجویی ریاضی دانشگاه بوعلی‌سینا
📐 @math_Bu_Ali
•───⟢❁⟡❁⟣──‌─•