Преобразование Фурье - крутой инструмент для обработки сигналов, помогающий распознавать речь, обрабатывать музыкальные записи, и лежащий в основе алгоритмов сжатия jpeg и mp3. И чтобы понять его логику, надо, внезапно, разобраться, как работает возведение в комплексную степень.

По сути, преобразование Фурье - это разложение функции в сумму синусоид с разными частотами и амплитудами. Но если вы откроете формулу, например, в Википедии, вы увидите, что в преобразовании Фурье используются не синусы и косинусы, а комплексная экспонента. Собственно, коэффициент Фурье для частоты w - это корреляция сигнала f(t) с функцией e^(-iwt). Почему оно так работает?

Магия в том, что в комплексной плоскости экспонента - это сумма синуса и косинуса: e^(ix)=cos(x) + i * sin(x) (формула Эйлера). Доказать эту странную связь можно, разложив правую и левую части в ряд Тейлора. А интуитивное доказательство можно прочитать на сайте Романа Парпалака: written.ru/articles/science/complex_exponent. Идея простая: можно подставить комплексный x в приближенную формулу e^x ≈ (1 + x/n)*n, и тогда возведение в комплексную степень сведётся к перемножению комплексных чисел. А мы знаем, что умножение комплексных чисел соответствует повороту их векторов в комплексной плоскости. Поэтому возведение в комплексную степень приводит к "вращению" чисел, а это вращение в проекции на реальную прямую выглядит как колебание.

Не знаю, почему, но меня эта связь между экспонентой и тригонометрическими функциями глубоко впечатляет.