Приверженец магических квадратов

#красивое #с_олимпиады

Источник: базовый осенний Тургор-2013, 10-11.5, автор Е. Бакаев

Что может быть проще, чем отличить куб от шара?

А вообще, классная задача! С ходу не очень понятно, она по математике, по физике или по какому-то другому предмету

Пусть f(x, y) = x*y, g(x, y) = x + y - xy, h(x, y) = (x + y) mod 2, r(x, y) = 1 - h(x, y).

r, h, f и g действуют из {0, 1} в {0, 1}. Докажите, что f и g нельзя представить через композиции функций r и h.

Пусть для любого действительного числа из области определения f(x) верно что f(x) + f(1/x) = x и также верно что для любого x в ней есть x, 1/x. Какое наибольшее количество чисел может быть в ее области определения?

Функция f(x) ограничена на [0; +inf) и дифференцируема, а также для x > 0 верно что f(x)*f’(x) >= sin(x).
Может ли у нее быть предел при x -> +inf?

Простенькая разминка после лета

Пусть c(1) = 1, c(2n) = c(n), c(2n+1) = (-1)^n*c(n)
Пожалуйста, посчитайте, с(1)*c(3) + c(2)*c(4) + ... c(2025)*c(2027)

Для целых m, n докажите неравенство
(m+n)!/(m+n)^(n+m) < m!/m^m * n!/n^n

Пусть у P(x) степени n различные корни r1, r2 ... rn: r1 < r2 ... < rn.

Пожалуйста, найдите все многочлены степени n >= 2 такие что для любого i среднее арифметическое r_i и r_i+1 будет являться корнем производной P(x).

Маша рассыпала бесконечное количество бусинок на пол. Оказалось, что расстояние между двумя любыми бусинками - целое число. Докажите, что если провести прямую через две любые бусинки, все остальные бусинки будут также на ней лежать.

Рассмотрим случайную перестановку чисел от 1 до 101. Пусть S - сумма всех ее элементов, которые больше каждого из стоящих перед ними (первый элемент также входит в сумму). Найдите вероятность того, что S четна.

Доказать, что НОК(1, 2, ..., n) = НОК(1*C^1_n, 2*C^2_n, ..., n*C^n_n)

C^k_n - число сочетаний из n по k

Пожалуйста,
а) Докажите, что для любого натурального n существует число у которого сумма цифр n, и оно делится на n
б) Предъявите явный вид подходящего числа для n из пункта а.

Многочлен P(x) = x^n + a1*x^(n-1) + a2*x^(n-2) + ... + 1 с неотрицательными коэффициентами имеет n вещественных корней. Докажите, что P(2025) >= 2026^n.
#Каждогодняя_задача

Очень сложное неравенство

Для произвольных вещественных a,b,с докажите неравенство:

если этот пост наберëт 179 лайков, я выложу видео доклада про движение точек в пространстве

Недавно Максим Дидин собрал два очень интересных интерактивных ресурса по олимпиадной математике, структурировать которые помогали ИИ-агенты:

1. База знаний по теории графов — интерактивная карта, которая визуализирует связи между задачами, сюжетами и идеями их решений.
2. Задачи с неполной информацией — подборка, выросшая из классических сюжетов про мудрецов в колпаках и задач на взвешивания.

По каждой из ссылок задачи разбиты по уровням сложности и ключевым методам, есть подсказки, теги, общие идеи решения (это вообще крутейшая вещь) и подборка задач на каждую из идей. Каждый из сайтов буквально подходит под запрос: хочу начать изучать тему, но не понимаю с чего / слишком страшно что-то пробовать. Все очень прикольно расположено и структурировано.

Проекты все еще находятся в процессе доработки, если вам интересна визуализация олимпиадных задач или вы хотите предложить правки для улучшения базы — заглядывайте по ссылкам.


UPD: во второй базе появились интерактивы по взвешиваниям 🤯