Веселые бесконечности

Недавно со студентами из ВШЭ провел занятие, посвященное классическому теизму и теории Божественной простоты. Уровень обсуждения местами был очень высоким, студенты, как всегда, – большие молодцы. Обсуждали различие и схожесть традиционного монотеистичнеского подхода и буддийской модели, с одной группой даже коснулись концепции перихорезиса в применении не к христологии, а к тринитарной теологии.

Среди прочего затрагивали вопросы о бесконечностях. Бесконечность, как известно, очень странно функционирует, особенно если переносить ее из математической сферы в сферу реального мира. Однако тут они всякий раз функционируют по-разному. Некоторые бесконечности работают вполне неплохо, другие – создают парадоксы. Есть много попыток объяснить, почему некоторые бесконечности создают парадоксы, а другие – нет. Я знаю две шикарные работы на эту тему: одна написана Алексом Пруссом, другая – Майклом Хьюмером. Я хочу просто дать привкус того, насколько бесконечности странные.

Может ли Бог досчитать до бесконечности?

Да, может, и для утверждения этой возможности нам даже не нужно разыгрывать "мистическую карту": может, но это тайна... Процедура эта возможна только если реальное время может делиться до бесконечности.

В ограниченном промежутке времени, например, в двух секундах, может быть проделана следующая процедура: после прошествия первой секунды прибавляется 1. Оставшийся промежуток делится пополам и по достижению этой половины – 1,5 секунды – прибавляется еще 1. Оставшийся промежуток делится пополам и когда наступает 1,75 секунды прибавляется еще 1. Таким образом, каждый раз новый промежуток времени, который остается до двух секунд, делится пополам и по наступлению середины в этом промежутке прибавляется 1. К двум секундам мы получим бесконечную серию сложений, и, таким образом, к двум секундам Бог досчитает до бесконечности.

Пример с палкой и плоскостью

Мне нравится пример, который приводит логик Рэймунд Смулян. Он, кстати, даосист по совместительству. Пример просто забавный и показывает странность бесконечностей. Больших выводов из него не сделать.

Представьте, что есть бесконечная плоскость, которая не искривляется и имеет максимальную жесткость. На поверхности лежит палка. Эта палка – математический луч. У нее есть начало, но нет конца. Палка эта тоже имеет максимальную жесткость. Если это так, то палка не может искривляться. В связи с этими обстоятельствами, нет такой точки, в которой палка может пересечь плоскость. Поэтому палка всегда вынуждена быть параллельной нашей бесконечной плоскости. Выходит, что если поднять эту палку за ее край – начало луча – то она всегда будет параллельной плоскости, что довольно странно и весело.

Бесконечность позади

Даже несмотря на научные свидетельства нам кажется естественным предполагать, что вселенная бесконечна во времени: до нас была бесконечность, после нас будет бесконечность. И это кажется таким очевидным опровержением космологического аргумента в каузальной версии. Однако если задуматься, то бесконечная серия причин до нашего существования – очень странная идея. Приведу два примера.

Пример №1. Подсчет.

Представьте, что вы подходите к человеку, который говорит: "4, 3, 2, 1, 0". Вы спрашиваете его о том, что он делает. Он отвечает: "я считал от бесконечности в обратном направлении, и как раз закончил к этому моменту". Это кажется абсурдным и странным.