4 Уровень: Делаем инверсии в нетривиальных точках

В какой-то момент жизни каждого геометра необходимо начать не бояться делать инверсию во всех точках, которые вы видите на картинках, даже если через нее проходит совсем мало окружностей. Часто окружности могут быть скрыты в условии задачи, и их предварительно необходимо найти. Бывает полезно делать инверсию в ортоцентре треугольника, в основании высоты, инцентре, середине меньшей\большей дуги описанной окружности…

Дополнительный трюк, который почему-то почти никто не знает: образ окружности после инверсии можно задать тремя параметрами — тремя точками через которые она проходит, тремя прямым, которых касается и так далее. Так вот один из параметров может быть углом, который окружность образует с какой-нибудь прямой или окружностью.

Для совсем лютых рекомендуется составить табличку, куда при какой инверсии переходят хорошие точки треугольника.

5 Уровень: Ортогональные окружности

Каждый профессионал должен понимать, как системно описывать преобразования, которые можно получить используя инверсии. В частности, нужно понимать, что любой пучок окружностей можно либо сделать пучком прямых, либо пучком концентрических окружностей. Одна из базовых задач на эту тему: поризм Штейнера.

6 Уровень: Связь проективной геометрии и инверсии

Нужно понимать, что инверсия сохраняет двойные отношения и что это это означает. Понимание того, как работает проективная инволюция, и что инверсии можно перекидывать также, как двойные отношения. ТДИ знать совсем не обязательно, а вот понимать где на картинке с гармонической четверкой точек взять инверсию нужно уметь!

7 Уровень: Сопряжение Клоуссона

Обобщение инверсии + симметрии в трапеции на произвольный четырехугольник. Можно вновь составить список того, куда какие хорошие объекты переходят. Одна из типичных задач на картинке.

Что же изучать дальше? К счастью, существует и дальнейшие пути развития в этой области! Во-первых, можно понять, как все это связано с некоторыми моделями геометрии Лобочевского. Об этом хорошо рассказывает преподаватель онлайн школы Дабромат Павел Витальевич Бибиков.

Геометрия Лобачевского неожиданно дает более системное представление о преобразованиях, реализуемых инверсией, движением и гомотетией. Используй ее язык удается крайне лаконично переписывать решения многих сложнейших задач. В целом есть ощущение, что область еще недостаточно развита, так что углубившись в нее есть шанс придумать много новых классных задач.

Альтернативно, можно углубиться в изучение кубических кривых и их инволюций. Про них было несколько проектов на Турнире Городов, например, вот тут. В целом кубические кривые последнее время в тренде. Добавлю, что практически все последние задачи по геометрии, которые мне нравятся, так или иначе связаны с каким-то кубическими кривыми.