Привет, друзья! Мы набегались из песочниц, пришло время решать Клодом математические задачи веков.

Если вы ещё не видели — time to: «Клод поднял нижнюю оценку доли нулей на критической прямой», «Клода попросили решить задачу и вот что случилось» и далее по списку.

Математика — область, где я чувствую себя и как дома, и безгранично тупой. Я много её изучаю и не смогла обойти работу стороной. В ней есть интересные нюансы с точки зрения постановки, давайте посмотрим.

А что случилось?
Кратко: статья. Клод внес свой вклад в доказательство гипотезы Римана (но не доказал).

Что за гипотеза:

Простые числа — классные ребята. Простые — это такие, что делятся только на себя и единицу, остальные идут лесом.

С одной стороны показано, что чем дальше по числовой оси (1, 2, 3…), тем они реже. И у нас в мире есть формула, предсказывающая, сколько простых меньше заданного числа: в грубом виде это x/ln x, в точном — логарифмический интеграл Li(x) (то есть площадь под кривой 1/ln t).

С другой стороны — конкретные простые числа эту формулу игнорируют и есть погрешность. Вопрос: какая и какие числа её дают волнует нас очень давно.

В 1859 году Бернхард Риман показал, что если взять красивую дзета-функцию:

ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + …

продолжить её на комплексные числа (то есть s = σ + it), то ошибка приближения раскладывается по нулям этой функции — точкам, где она обращается в ноль. Каждый нуль даёт свою волну по всей числовой оси, и сумма этих волн — то, чем реальное количество простых отличается от Li(x).

Показано, что интересные нули — то есть те, которые наверное связаны с ошибками в Li(x) — лежат в вертикальной полосе между 0 и 1. Риман предположил где именно — на прямой Re s = 1/2. Это и есть гипотеза Римана, а прямая называется критической.


Что это даёт миру?
1. Анализ поведения простых чисел: как густо расставлены в мире чисел эти товарищи.
2. Много доказанных теорем, которые начинаются словами «предположим, гипотеза Римана верна».

Доказательство легализовало теоремы, но его нет и вместо доказательства делают так: раз «все нули на прямой» не выходит, доказывают «хотя бы столько-то процентов нулей на прямой».

Что было:

Процент поднимали с 1914 года: Харди (бесконечно много нулей на прямой, но это 0% от всех), Сельберг (положительная доля), Левинсон (1/3), Конри (2/5), и с 2020-го рекорд 5/12 (41.6%).

Что стало:

67.25%. И это сделал Клод.

Понимать математику можно долго в работе, а вот хинты самогоэксперимента мне понравились. Поэтому о них дальше закину.