Он никогда не мечтал вершить судьбы.

Правильно
Он никогда не мечтал вершить судьбами.

Почему
Потому что в значении «распоряжаться» глагол вершить управляет существительными в творительном падеже.

Словосочетание вершить судьбы довольно распространённое, но это ещё не делает его верным. Розенталь указывает на него как на устаревшее в своём справочнике по стилистике (а его издали почти 30 лет назад), а в словаре «Управление в русском языке» приводит только вариант с творительным падежом — вершить судьбами.