Оставь рассол наутро.

Правильно
Оставь рассол на утро.

Почему
Наречие наутро отвечает на вопрос «Когда?». Его синоним — утром. А в случае с сочетанием существительного и предлога на утро проверочные вопросы — «На что?», «На какое время?». Поэтому в нашем примере пишем раздельно. Сравните: Наутро выпили рассол.

В таких случаях ещё можно посмотреть, как будет выглядеть конструкция с каким-нибудь определением. Оставь рассол на ближайшее утро — всё складно, значит, это существительное с предлогом. На ближайшее утро выпили рассол — что-то не то, значит, наречие.