Кому сегодня мыть посуду — определит камень-ножницы-бумага.

Правильно
Кому сегодня мыть посуду — определит «Камень, ножницы, бумага».

Почему
С точки зрения правил русского языка название игры следует заключить в кавычки и написать первое слово с большой буквы. А вот для постановки дефисов нет оснований: это перечисление, элементы которого логичнее отделить друга от друга запятыми.