Некогда мне с тобой няньчиться.

Правильно
Некогда мне с тобой нянчиться.

Почему
Слово «нянька» не должно здесь сбивать с толку, потому что «нянчить» подчиняется другому правилу. Звучит оно так: в сочетании согласных «нч» буква «ь» не пишется. Вот ещё примеры: клянчить, пончик, застенчивый.