Rejection Sampling and Uniform Distribution

Одна из характеристик хорошей rand-функции — равномерное распределение. Это означает, что каждое возможное значение имеет одинаковую вероятность быть выбрано

Представим, что у вас есть функция rand7(), которая равномерно возвращает случайное число в диапазоне [1, 7]. Наша задача — написать функцию rand10() с диапазоном [1, 10], сохранив равномерное распределение. Дальше вместо rand7() будут использоваться переменные a и b. Скорее всего, вы сходу предложите одну из примитивных реализаций. Вот примеры:

func rand10() int {  
    a, b := rand7(), rand7()
    return a + b % 3
}

func rand10() int {  
    a, b := rand7(), rand7()
    return (a * b) % 10 + 1
}

Обе реализации неправильны

В первом варианте b % 3 даёт остатки от деления на 3, т.е. 0, 1 или 2 не с одинаковой вероятностью. Остаток 1 встречается чаще остальных, из-за чего получается неравномерное распределение итоговых значений.

Во втором варианте количество способов получить каждое произведение a * b тоже неравномерное.
Например:
- 1 = 1 * 1 → 1 комбинация
- 6 = 1*6, 2*3, 3*2, 6*1 → 4 комбинации
- 12 = 2*6, 3*4, 4*3, 6*2 → 4 комбинации
- 36 = 6*6 → 1 комбинация
и так далее

(...) % 10 + 1 ещё больше усугубляет ситуацию, потому что например при product = 2, 12, 22, 32, 42 мы будем везде получать значение 3

На графиках можно наглядно увидеть перекос, перебрав все 49 возможных комбинаций a и b.

Правильное решение

Рассмотрим формулу:
((a - 1) * 7 + b ) % 10 + 1

Она почти равномерна: значения от 1 до 10 встречаются почти с одинаковой частотой, за исключением 10, которое появляется всего 4 раза, тогда как остальные — по 5 раз.

Причина проста - всего комбинаций 7 × 7 = 49, нам не хватает числа 50.

Можно ли без него? Можно - проблема решается с помощью rejection sampling - мы отбрасываем значения больше 40. На языке кода мы делем пересчёт if num > 40. Тогда остаются только 40 комбинаций, которые можно равномерно разбить на 10 групп по 4 значения, что и видно на последней диаграмме

Финальный код:

func rand10() int {  
    for {  
       a, b := rand7(), rand7()
       num := (a-1)*7 + b  
  
       if num <= 40 {  
          return 1 + (num-1)%10  
       }  
    }  
}

Задача на Leetcode: https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/