history of repetition

Рассмотрим неособую поверхность X - дель Пеццо степени 5, она же раздутие P^2 в четырех неколлинеарных точках. Такая поверхность одна с точностью до изоморфизма, потому что проективные преобразования P^2 действуют транзитивно на упорядоченных четверках неколлинеарных точек. Отсюда же мы видим, что перестановки четырех точек раздутия задают вложение S_4 в Aut(X).

Оказывается, что вся группа Aut(X) есть S_5, и мне кажется, что самый простой способ увидеть все эти автоморфизмы сразу - сказать, что X есть компактификация Делиня-Мамфорда M_{0,5} пространства модулей рациональных кривых с 5 отмеченными точками. Тогда перестановки номеров отмеченных точек задают вложение S_5 в Aut(X) (про которое можно доказать, что оно изоморфизм).

Кажется, что это немного удивительно, что пространство модулей, хотя бы случайно, возникает в таком элементарном вопросе алгебраической геометрии.

Очень давно ничего сюда не писал, но вот случайно захотелось расписать несложную, но не совсем очевидную вещь:

Рассмотрим 2n-мерное симплектическое векторное пространство (V, ω) и его лагранжев грассманиан L(V). Пусть U -- n-мерное подпространство в V. Как устроено подмножество L₀(V, U) в L(V), состоящее из лагранжевых пространств, дополнительных к U?

Можно догадаться, что ответ будет зависеть от ранга r ограничения симплектической формы ω на U. Давайте увидим это в двух крайних случаях. В обоих случаях мы найдем ответ, рассмотрев пример конкретной пары (V, U), поскольку все такие пары с равными n и r изоморфны.

1. Пусть V = W⊕W* c формой ω(x⊕ζ, y⊕η) = ζ(y) - η(x). Тогда W и W* лагранжевы в V, и мы возьмем W* за U. Подпространства, дополнительные к W* -- это графики отображений W -> W*, и можно посчитать, что лагранжевым подпространствам соответствуют в точности самосопряженные отображения. Таким образом, L₀(V, W*) отождествляется с аффинным пространством размерности n(n+1) / 2 -- это аффинная карта L(V), в которой лежит W.

2. Пусть n = 2m, и U само симплектическое с формой ω'. Тогда за V мы возьмем U⊕U с формой ω = p1*ω' - p2*ω'. Аналогично, пространства, дополнительные ко второй копии U -- это графики отображений из первой копии во вторую, а лагранжевым подпространствам соответствуют симплектические отображения. Таким образом, мы вложили симплектическую группу Sp(U) как открытое подмножество в L(U⊕U).

Как видите, эти два примера выглядят весьма по-разному, даже на гомотопическом уровне: в первом L₀(V, W) стягиваемо, а во втором -- нет (Sp(2n, R) гомотопически эквивалентно U(n)).

https://arxiv.org/abs/1804.06048

Очень приятный обзор-введение про виртуальные фундаментальные классы, если читать, параллельно листая упомянутые главы из "Теории пересечений" Фултона.

ГМТ, из которых два данных (синих) отрезка видны под равными углами - это кубика

до сегодняшнего дня я не знал, что у проекции выпуклого многогранника на гиперплоскость может быть больше граней коразмерности 1, чем у исходного многогранника, но вот один из самых простых примеров этого явления

алгоритм Фурье-Моцкина дает оценку, что у проекции многогранника с n гранями на гиперплоскость будет не больше (n/2)^2 граней.

задачка — является ли эта оценка асимптотически точной для цепочек из k последовательных проекций?

иными словами, можно ли придумать для k >> 0 последовательности многогранников P_0, P_1, ..., P_k, для которых P_i — проекция P_{i+1}, и число граней P_i асимптотически равно [числу граней P_{i+1}] ^ 2 / 4 для всех i?

ну что ж, можно поздравить этого человека со статьей, выложенной на Arxiv

https://arxiv.org/abs/2310.10150

Здесь lambda_1 >= ... >= lambda_n — упорядоченные собственные значения симметрического оператора A.

Принцип минимакса и сечения эллипсоидов

Вчера из книги Арнольда по классической механике узнал очень понравившийся мне геометрический факт.

Предложение. Рассмотрим эллипсоид с главными полуосями длины l_1 >= l_2 >= .. >= l_n, и его сечение произвольной гиперплоскостью, проходящей через его центр. Сечение также будет эллипсоидом с некоторыми полуосями длин l*_1 >= l*_2 >= ... >= l*_(n-1).
Тогда l_i >= l*_i >= l_(i+1) для всех i.

Доказывается это утверждение в терминах симметрических операторов в евклидовом пространстве — если симметрический оператор A положительно определен, с ним связан эллипсоид с уравнением (Ax, x) = 1, главные полуоси которого обратны собственным значениям A.
Таким образом, достаточно доказать аналогичное утверждение для собственных значений операторов A и PAP*, где P* — вложение гиперплоскости, P — ортогональная проекция на нее.

Утверждение следует из принципа минимакса Рэлея-Куранта-Фишера — см. приложенные формулы, в них Gr_{k, n} — множество всех k-мерных плоскостей в n-мерном евклидовом пространстве. Переходя к гиперплоскости, мы рассматриваем только k-мерные плоскости содержащиеся в ней (Gr_{k, n-1} внутри Gr_{k, n}), тогда, очевидно, минимальное значение не уменьшается, а максимальное не увеличивается, что и дает в итоге искомые неравенства.

Интегрируемость и бикомплекс Дольбо

Хотелось отметить еще один критерий интегрируемости комплексной структуры в терминах дифференциальных форм.

В прошлый раз мы заметили, что комплексифицированное касательное расслоение к почти комплексному многообразию имеет разложение в прямую сумму T^(1,0) + T^(0,1).
В силу двойственности пространство 1-форм раскладывается в сумму пространств форм типа (1, 0) и (0, 1), и тогда, как разложение внешней степени прямой суммы мы получаем разложение комплекснозначных k-форм в сумму форм типа (p, q), p+q=k

Те, кто знаком с комплексной геометрией, знают, что на комплексных многообразиях дифференциал де Рама раскладывается в сумму d = d' + d", где d' имеет степень (1, 0), а d" степень (0, 1) относительно этой градуировки. Так вот, оказывается, что существование такого разложения эквивалентно интегрируемости почти комплексной структуры.

Иными словами, у неинтегрируемых почти комплексных структур дифференциал d всегда имеет ненулевые компоненты типа (2, -1) и (-1, 2) при действии на 1-формах, и это есть просто эквивалентное теореме Ньюлэндера-Ниренберга утверждение.

Это следует из формулы Картана:
d omega(X, Y) = X omega(Y) - Y omega(X) - omega([X, Y]),
для неинтегрируемой структуры мы можем найти два поля X, Y типа (1, 0) c ненулевой компонентой типа (0, 1) в [X, Y], и взяв подходящую omega типа (0, 1) получим, что d omega не зануляется на (X, Y) из-за последнего слагаемого, то есть имеет ненулевую компоненту типа (2, 0).

Форма Фробениуса и кривизна, часть II: тензор Нийенхойса

Acknowledgments: этот и предыдущий посты в значительной степени основаны на лекциях и листках Миши Вербицкого по комплексной геометрии на матфаке.

У формы Фробениуса есть комплексно-геометрический собрат из-за того, что отчасти загадочным образом существует параллель между интегрируемостью распределений и почти комплексных структур.

Напомню, почти комплексная структура на 2n-мерном вещественном многообразии M — это оператор "умножения на i" в TM, то есть такой эндоморфизм I: TM —> TM, что I^2 = -Id.
Почти комплексная структура называется интегрируемой, если она приходит из настоящей комплексной структуры, заданной атласом с голоморфными функциями перехода.

Оператор I позволяет определить голоморфные функции как те гладкие функции, дифференциал которых есть комплексно-линейное отображение TM —> C.
Оказывается, что на общем почти комплексном многообразии голоморфных функций может быть очень мало даже локально. Нетрудно видеть, что интегрируемость эквивалентна тому, что в каждой точке можно найти ростки голоморфных функций (z_1, ..., z_n), дифференциалы которых линейно независимы, потому что тогда они и будут задавать локальную карту.

Рассмотрим теперь комплексное расслоение TM⊗C. У оператора I в нем появятся собственные подпространства, образующие два дополнительных подрасслоения T^(1,0) и T^(0,1) с собственными значениями i и -i соответственно.

Продолжив коммутатор полей по линейности на сечения TM⊗С, сформулируем следующее (нетривиальное) утверждение:
Теорема Ньюлэндера-Ниренберга: почти комплексная структура интегрируема <==> коммутатор двух сечений T^(1,0) снова есть сечение T^(1,0).
Таким образом, мы снова можем построить тензор, препятствующий интегрируемости — это просто комплексный аналог формы Фробениуса для T^(1,0), и он называется тензором Нийенхойса.

Сразу отмечу простое следствие теоремы: любая почти комплексная структура на вещественной поверхности интегрируема (поскольку кососимметричная 2-форма на одномерном пространстве может быть только нулевой).
Это утверждение оказывается очень полезным в симплектической топологии, когда люди рассматривают почти комплексные структуры, подходящим образом совместимые с симплектической ("псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях").

Форма Фробениуса и кривизна, часть I

Хочу рассказать про один из недостаточно известных, на мой взгляд, сюжетов из дифференциальной геометрии, который лично мне проясняет важные понятия.
Пусть D — k-мерное распределение на многообразии M (по определению это гладкое k-мерное подрасслоение в TM).
Теорема Фробениуса гласит: D интегрируемо (через каждую точку M проходит k-мерное подмногообразие, всюду касающееся D) <==> для любых двух векторных полей, всюду касающихся D, их коммутатор снова касается D.
Оказывается, по этой теореме мы можем построить некоторый тензор, который является препятствием к интегрируемости. А именно:
Пусть X, Y — два векторных поля, касающихся D. Тогда в каждой точке p класс эквивалентности вектора [X, Y]_p mod D зависит только от X_p и Y_p. Таким образом, мы получили кососимметричную 2-форму (форму Фробениуса) Ф на D со значениями в факторрасслоении TM/D.

Пример: пусть dim M = 2n + 1, dim D = 2n. Тогда D является контактной структурой тогда и только тогда, когда форма Фробениуса на D имеет максимальный ранг.

Рассмотрим теперь некоторую специальную ситуацию, в которой возникают распределения. Пусть у нас есть гладкое локальное тривиальное расслоение (например, векторное) p: E —> M со связностью A.
Как известно, выбор связности эквивалентен выбору дополнения к вертикальному подрасслоению Tp в TE (Tp состоит из векторов, касающихся слоев p). Это дополнение мы обозначим H — горизонтальное подрасслоение, или распределение горизонтальных плоскостей.
Утверждение, которое я хочу сделать, что форму Фробениуса для распределения H можно рассматривать как кривизну связности A.

Более того, в конкретном случае связности в векторном расслоении E —> M это отождествление можно осуществить строго.
Пусть x — точка M, X, Y — два вектора в T_x M, v — вектор в слое E_x. Тогда мы можем поднять X и Y до векторов в H_v единственным образом (горизонтальные плоскости изоморфно проецируются на базу) и вычислить форму Ф(X_v, Y_v). Ее значение w лежит в (TE/H)_v = Tp_v = E_x, так как касательное пространство к слою векторного расслоения есть сам этот слой.
Таким образом, мы получили отображение E_x —> E_x : v |—> w, кососимметрически зависящее от двух векторов в T_x M. Можно понять, что это отображение линейно, таким образом, Ф задает 2-форму на M со значениями в эндоморфизмах E. Утверждение в том, что это и есть форма кривизны.
Аналогичную конструкцию можно проделать и для связностей в главных расслоениях.

Кривая седьмой степени в евклидовой геометрии

Случайно нашел такую прекрасную статью, оказывается, с общим четырехвершинником связана кривая степени 7(!) — это геометрическое место точек, основания высот, опущенных на шесть сторон четырехвершинника, из которых лежат на одной конике. Для параллелограммов и ортоцентрических четверок ее степень падает до 6, меньше степень не бывает.

Загадка: пусть S -- раздутие проективной плоскости в 6 точках попарного пересечения 4 прямых общего положения. Как устроен антиканонический образ S?

Из соображений степени понятно, что все 4 прямые стянутся в одну точку, так что в ней будет довольно сложная особенность, но сходу ничего больше не ясно

Еще о моделях плоскости Лобачевского H^2

Оказывается, существует очень красивое описание соответствия между моделью в верхней полуплоскости и моделью Кэли-Клейна.

Начнем с модели в верхней полуплоскости в CP^1, ее абсолют -- RP^1, а прямые -- дуги окружностей и лучи, ортогональные вещественной оси.

Модель Кэли-Клейна определяется по проективной плоскости RP^2 с невырожденной коникой, точки диска, ограниченного коникой, являются точками H^2, а отрезки прямых в RP^2 -- прямыми в H^2.

Возьмем RP^2 = P(Sym^2(R^2)), проективизацию пространства квадратных трехчленов. На нем есть квадратичная форма -- дискриминант, задающий конику, которая делит RP^2 на области, отличающиеся знаком дискриминанта.
Как известно, у квадратного многочлена с отрицательным дискриминантом есть единственный корень в верхней полуплоскости, и это задает биекцию между верхней полуплоскостью и классами пропорциональности квадратных многочленов с отрицательным дискриминантом. Это и есть искомое соответствие между моделями Пуанкаре и Кэли-Клейна

Замечание к предыдущему посту: можно заметить совпадение конформных групп сферы S^n и диска B^(n+1).

С точки зрения гиперболической геометрии этот изоморфизм есть просто продолжение изометрий пространства H^n на его границу (абсолют, идеальную гиперповерхность). Таким образом, хотя на абсолюте не существует естественной инвариантной метрики, на нем есть инвариантная конформная структура.

Конформные и голоморфные структуры и отображения

Две римановых метрики на многообразии конформно эквивалентны, если они получаются друг из друга умножением на положительную гладкую функцию. Конформная структура -- это класс конформно эквивалентных метрик.

Размерность 2 отличается тесной связью между конформными и комплексными структурами.
Предложение. На поверхности данные конформной структуры + ориентации эквивалентны комплексной структуре.
Доказательство. Очевидно, что конформная структура + ориентация эквивалентна почти комплексной структуре (умножение на I = поворот на pi/2 против часовой стрелки). Но любая почти комплексная структура в размерности 1 интегрируема по теореме Ньюландера-Ниренберга (тензор Нийенхойса обращается в 0 как антисимметрический тензор на одномерном пространстве).

Два удивительных факта о том, как по-разному ведут конформные отображения в разных размерностях.

Теорема Римана об отображении. Любые два собственных стягиваемых открытых подмножества R^2=C конформно изоморфны.

Теорема Лиувилля. Конформное отображение между двумя открытыми подмножествами R^n, n >= 3, есть ограничение преобразования Мёбиуса (композиция инверсий в сферах).

Следствие. Любой конформный автоморфизм пространства Лобачевского H^n есть изометрия. (Для n >= 3 это следствие теоремы Лиувилля, для n=2 группа конформных автоморфизмов тоже известна и равна PSL(2, R))

Это последнее обстоятельство тоже можно использовать:
Теорема. Пусть X -- риманова поверхность, не биголоморфная CP^1, C, C* или эллиптической кривой. Тогда в конформном классе X существует каноническая полная гиперболическая метрика.
Доказательство. Рассмотрим Y -- универсальное накрытие X. За исключением случаев, перечисленных в условии Y биголоморфно диску, на котором pi_1(X) действует голоморфными автоморфизмами, которые также являются изометриями плоскости Лобачевского, поэтому гиперболическая метрика спускается на фактор Y/pi_1(X).

Когомологии грассмановых расслоений

Пусть E -> B -- комплексное расслоение, X = Gr(k, E) -- ассоциированное грассманово расслоение k-мерных плоскостей. Вопрос: как найти структуру H*(X) как H*(B)-алгебры?

Мой гипотетический ответ, в котором я вполне уверен, звучит так.
Пусть p: X -> B -- естественная проекция, тогда на X есть точная последовательность векторных расслоений
0 -> t -> p*E -> q -> 0, где t -- тавтологическое расслоение. Из формулы Уитни получаем c(t)*c(q)=c(E).

Предложение-гипотеза. Как H*(B)-алгебра, H*(X) порождена классами Черна t и q, а все соотношения между ними вытекают из формулы Уитни.

Если у кого-то есть ссылка на это, пожалуйста, напишите в комментариях.

Собственный прямой образ в когомологиях де Рама

Предложение. Пусть f: X -> Y -- собственное гладкое отображение гладких ориентированных многообразий, dim Y - dim X = k. Тогда существует отображение в когомологиях де Рама f_*: H^*(X) -> H^{*+k}(Y).

Замечание. На самом деле, f_* можно построить для любого собственного отображения многообразий f, не обязательно гладкого. Для этого нужно сопрячь f_* в гомологиях Бореля-Мура двойственностью Пуанкаре на X и Y. Но сегодня я хотел бы описать чуть более явный подход на уровне дифференциальных форм.

Лемма. Любое собственное гладкое отображение многообразий f : X -> Y раскладывается в композицию замкнутого вложения g : X -> Z и собственной субмерсии h : Z -> Y.
Доказательство (сообщено мне by Tom Goodwillie в ответе на MathOverflow).
Рассмотрим (незамкнутое) вложение X в компактное многообразие W (по теореме Уитни любое многообразие вкладывается в сферу достаточно большой размерности). Тогда искомая композиция задана как
X -> W×Y -> Y.

Таким образом, мы свели построение f_* к двум случаям -- когда f является замкнутым вложением или собственной субмерсией.

Начнем со второго случая, потому что в нем f_* определен канонически: по теореме Эресманна f -- это локально тривиальное расслоение с компактным слоем, и тогда f_* есть отображение интегрирования по слоям.

Если f является замкнутым вложением, конструкция также стандартна -- рассмотрим вложение трубчатой окрестности U -> Y как вложение тотального пространства нормального расслоения.
Тогда f_* есть композиция изоморфизма Тома для нормального расслоения и продолжения нулем вне U.