Вот мы и дошли до самого распространенного способа представления знаковых целых чисел в современных компьютерах. Это дополнительный код или two's complement на бездуховном.
По своей сути, это чуть усложненный обратный код. Если там для представления отрицательного числа нам нужно было инвертировать все биты числа и дело в шляпе, то здесь нам к получившемуся результату добавить единичку.
То есть:
-5 = ~5 + 1 = ~0000101 + 1 = 11111010 + 1 = 11111011
Дополнительный код также поддерживает замену операции вычитания через сложение с обратным вычитаемым. В случае переполнения просто откидываем новый получившийся разряд.
Можем проверить, кстати, что при сложении 2 обратных друг другу чисел, мы получим 0.
13 - 13 = 13 + (-13) = 13 + ~13 + 1 = 00001101 + 11110010 + 1 = 11111111 + 1 = 1'00000000 = 0
Именно за счет добавления единички мы избегаем ситуации, когда у нас есть 2 разных способа кодирования нуля.
Однако теперь у нас несимметричный диапазон представляемых чисел, так как место одного из нулей должно занять другое число. Если для обратного кода он был [-(2^(N-1) - 1), 2^(N-1) - 1] ([-127, 127] для восьмибитных чисел), то для дополнительного кода он такой [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1] ([-128, 127] для восьмибитных чисел).
Вы наверное все это читаете и немного грустите. Во-первых, скучно. Во-вторых, это надо просто заучить(возможно только для экзамена). Никаких аналогий в голове на это особо не придумаешь.
Но на мой взгляд, здесь тот случай когда русскоязычное научное сообщество с переводами перемудрило, усложнив понимание. Сейчас все будет намного понятнее.
В английском достаточно знать слово complement и иметь немного воображения.
> Ones' complement (обратный код)
> Two's complement (дополнительный код).
Complement - дополнение. Грубо говоря если у вас есть часть предмета, то compliment это остальная часть, которой нужно дополнить вашу, чтобы получить целое.
В случае обратного кода (one's complement), отрицательное значение дополняет положительное так, чтобы их сумма давала в результате единицы во всех разрядах. Технически мы просто инвертируем биты, а идейно дополняем до всех единиц.
> (0) 000 -> 111 (-0)
> (1) 001 -> 110 (-1)
> (2) 010 -> 101 (-2)
> (3) 011 -> 100 (-3)
То есть: 000 + 111 = 001 + 110 = 010 + 101 = 011 + 100 == 111 - тот самый отрицательный ноль
Дополнительный код (two's complement) - похожий принцип. Здесь two (2) это основание системы счисления. Если у нас двоичная система счисления и есть N разрядов, то представление отрицательного значения должно дополнять представление положительного так, чтобы в сумме они давали 2^N. Например, для трёх бит 2^3 это (8) 1000. Следовательно:
> (0) 000 - у него нет "дополнения"
> (1) 001 -> 111 (-1)
> (2) 010 -> 110 (-2)
> (3) 011 -> 101 (-3)
001 + 111 = 010 + 110 = 011 + 101 = 1'000(2^3, откидываем старший разряд) == 0
А теперь еще немного магии для тех, кто путался, куда ставить апостроф в этих комплементах. Ones' complement -"дополнение до единиц". Единиц во множественном числе. То есть должны во всех разрядах получиться единицы при сложении с обратным. Two's complement - "дополнение до двойки". Двойки в единственном числе. Дополняем так, чтобы в сумме получилась степень двойки.
В английском апострофом обозначается принадлежность одного объекта другому. И для обозначения принадлежности существительным в единственном числе после слова идет апостроф и 's'. А для множественных просто апостроф(типа потому что s на конце уже есть).
Вот такие дела. Надеюсь, что последние абзацы мощно добавили вам понимания и раскрыли секреты вуду.
Have a deep meaning in your life. Stay cool.
#base
