Если вам нравятся длинные статьи, то можете почитать объяснение Юдковского на LessWrong или по этой ссылке (на английском). Ниже будет мое компактное изложение основных идей.
Рассмотрим следующую задачу:
> Пусть существует заболевание с частотой распространения среди населения 0,001 и метод диагностического обследования, который с вероятностью 0,9 выявляет больного, но при этом имеет вероятность 0,01 ложноположительного результата — ошибочного выявления заболевания у здорового человека. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
(Если вы никогда ранее не сталкивались с похожими задачами, то попробуйте сначала прикинуть ответ, а потом уже дочитать вниз и проверить свои догадки.)
Понятно, что можно решать ее, используя формулу Байеса напрямую (посчитать
P(A), P(B), P(B|A) и из этого вывести ответ на задачу P(A|B)), но есть и более короткий путь.Поскольку вероятность быть больным до теста равна 0.001, то получается, что шансы болезни изначально 1:999 (или отношение больных и здоровых равно 1/999). Далее нам требуется поделить вероятность true positive на вероятность false positive — получится 0.9/0.01 = 90. Наконец, умножаем 1/999 на 90 и получаем 90/999, или в переводе обратно в вероятность быть здоровым, 999/(90+999) ≈ 0.9174.
Строгое математическое доказательство остается в качестве упражнения читателю :) Но интуитивно это решение можно понимать с помощью водопада (картинка взята отсюда) На картинке синяя вода — это вероятность здорового, а красная — вероятность больного. Фиолетовая область — это то, что мы наблюдаем после теста: либо больного с положительным тестом, либо здорового с ложноположительным тестом. При этом доля обнаруженных случаев (true positive rate, TPR) — 90%, а ложноположительных срабатываний (false positive rate, FPR) — 30%. Тогда изначально отношение синей и красной воды было 80/20 = 4, а в фиолетовой области оно стало (80*30)/(20*90) = 4/3, т.е. разделилось на 90/30 = 3 — отношение TPR и FPR.
(продолжение ниже)