29 марта и на этой неделе «Математический вторник» сегодня.

Какие семейства окружностей есть на торе, поверхности бублика?

Два семейства окружностей очевидны: одно — это окружности, образующие тор при вращении вокруг оси, другое — окружности, параллельные «экватору». Оказывается, на торе есть ещё два семейства окружностей, называемых окружностями Вилларсо. И это позволяет построить пластинчатую модель тора (по технологии «sliceform») из пластинок одинаковой формы.

Сегодняшняя премьера – фильм «Окружности Вилларсо» https://etudes.ru/models/Villarceau-circles/, рассказывающий и о том, что это за окружности, и про модель тора из пластинок.

Окружности Вилларсо на торе нашего обычного трёхмерного пространства служат основой для конструктивного разбиения сферы четырёхмерного пространства на попарно зацепленные окружности – так называемого расслоения Хопфа. Построенное в 1931 году расслоение стало исключительным и важным примером в алгебраической топологии.

А идея использовать окружности Вилларсо для создания модели тора из «долек» одинаковой формы была придумана относительно недавно – в 2011 году и у нас, кажется, малоизвестна. При этом идея и красивая, и интересная: объединяет наблюдение о торе, важный математический факт и модель, которую можно сделать своими руками.

Для подобных конструкций в английском языке употребляется термин «sliceform». Предлагаем в русском языке использовать «пластинчатые конструкции». Самим не очень нравится, но лучшего пока не придумали. Если кто-то придумает – пишите. (Как меня учил первый научный руководитель – Сергей Борисович Стечкин – ввести термин продуманный, чтобы он прижился, это даже важнее, чем доказать теорему.)

В разделе «Модели» уже накопилось несколько таких сюжетов, которые теперь объединены в отдельную тематическую группу «Пластинчатые конструкции» https://etudes.ru/models/@sliceforms.

Приведём ссылку и на страницу одного из авторов статьи 2011 года: https://www.uv.es/monera2/. Здесь можно найти и авторское видео о сборке тора, и некоторые другие пластинчатые конструкции.