Your next purchase is on us.

Следующая покупка за наш счёт

It's on me - за мой счёт (если угощаете кого-то, например)

A fight - стычка, ссора.

Кстати, говоря, ни разу не слышала quarrel в обиходе, в значении "ругаться".
Всегда fight.