📝 Формула Эйлера: из тригонометрического в показательный вид

Формула Эйлера имеет вид: eⁱˣ = cos x + i·sin x.
1. Определим функцию f: ℝ → ℂ. Пусть f(x) = cos x + i·sin x
Она обладает тремя свойствами, выводимыми чисто из тригонометрии:
(1) f(0) = cos 0 + i·sin 0 = 1 + i·0 = 1
(2) f(x+y) = f(x)·f(y)

Это прямое следствие формул сложения: cos(x+y) = cos x·cos y − sin x·sin y и sin(x+y) = sin x·cos y + cos x·sin y

После подстановки и группировки получаем: cos(x+y) + i·sin(x+y) = (cos x + i·sin x)·(cos y + i·sin y)

(3) f'(x) = −sin x + i·cos x = i·(cos x + i·sin x) = i·f(x)

2. Задача Коши и единственность решения
Рассмотрим дифференциальное уравнение: y' = i·y, y(0) = 1 в поле комплексных чисел
Функция f(x) = cos x + i·sin x является его решением
Теперь рассмотрим функцию g(x) = eⁱˣ, где экспонента определена стандартным степенным рядом: eᶻ = 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + …
Для z = ix ряд сходится абсолютно на всей плоскости
Функция g(x) удовлетворяет тому же уравнению: g'(x) = i·eⁱˣ = i·g(x), g(0) = 1
В силу теоремы Пикара–Линделёфа (глобальная липшицевость с константой |i| = 1) решение задачи Коши единственно на всём ℝ
Следовательно: f(x) ≡ g(x) ⇒ cos x + i·sin x ≡ eⁱˣ
Что и требовалось

Факт 1. Роль аналитичности. Если отказаться от требования комплексной дифференцируемости, существуют гладкие функции F: ℂ → ℂ, совпадающие с eˣ на вещественной оси и принимающие значение cos x + i·sin x на мнимой оси, но не являющиеся экспонентой
Пример строится с использованием функций типа exp(−1/x²)
Таким образом, равенство Эйлера — это не просто свойство, а следствие требования аналитичности

Факт 2. Гомоморфизм групп
Отображение φ: ℝ → S¹, φ(x) = eⁱˣ, является непрерывным гомоморфизмом из аддитивной группы ℝ в мультипликативную группу единичной окружности S¹
Это свойство редко упоминается при «выводе», но именно оно лежит в основе теории характеров и преобразования Фурье на компактных группах

Факт 3. Алгебраическая независимость формул сложения
Тождество f(x+y) = f(x)·f(y) эквивалентно двум формулам сложения для синуса и косинуса
Однако оно может быть выведено чисто алгебраически из системы дифференциальных уравнений:
s' = c, c' = −s, s(0)=0, c(0)=1 без привлечения геометрических построений
Это делает вывод полностью замкнутым внутри анализа

Факт 4. Топологическое следствие. Экспоненциальное отображение exp: iℝ → S¹ не является изоморфизмом групп, поскольку его ядро — множество 2πi·ℤ
Из формулы Эйлера автоматически следует, что период косинуса и синуса равен 2π (если определить π через первый положительный корень уравнения cos x = 0)
Таким образом, формула Эйлера и определение числа π оказываются взаимосвязанными

Тригонометрическая форма — это не «следствие» экспоненты, а альтернативная реализация той же самой аналитической функции
Этот факт имеет глубокие связи с теорией групп Ли, теорией представлений и гармоническим анализом на окружности

📝 📝📝 Самая красивая математическая формула

Математика около числа: Второй замечательный предел

Physics.Math.Code
@physics_lib