Давайте, как и обещал в посте выше, расскажу о том, как открыли комплексные числа - это тоже очень интересная диалектическая история.

Два итальянских математика - Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли - открыли мнимые и далее комплексные числа в XVI веке при попытке решить кубические уравнения. Вкратце суть такова: невозможность решить кубические уравнения без использования мнимых чисел заставила математиков принять их, хотя они и казались абсурдными. Кардано впервые упомянул их в 1545 году, а Бомбелли в 1572 году начал систематически исследовать эти числа и разработал правила операций с ними. Широкое признание и геометрическую интерпретацию комплексные числа получили лишь в XVIII-XIX веках, то есть прошло более 200 лет от открытия до полного признания.

Как мы с вами уже отмечали выше, открытие комплексных чисел стало диалектическим синтезом. Но в диалектике синтез не возникает из праздного любопытства - он всегда вызывается необходимостью, когда старая система заходит в тупик и перестает работать там, где должна. Если бы математики могли просто сказать, что корня из минуса быть не может и продолжать решать все практические задачи, комплексные числа, возможно, не были бы открыты еще столетия. Истинное противоречие, которое заставило их "сдаться" и принять мнимые числа, и возникло на уровне кубических уравнений.

К XVI веку алгебра сформировалась как мощный инструмент. Математики нашли общую формулу для решения кубических уравнений. Считалось, что уравнение третьей степени всегда имеет хотя бы один реальный корень (график кубической параболы всегда пересекает ось X). Этого требовала и физика. Но когда математики начали применять свою прекрасную новую формулу к определенным кубическим уравнениям, они столкнулись с шокирующим парадоксом.

Оказалось, что уравнение имеет три реальных корня (и это было видно графически), но формула для их нахождения требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа в промежуточных вычислениях. Чтобы получить реальный, осязаемый ответ (в том числе не только в чисто математических, но и физических задачах), необходимо пройти через этап вычислений с "несуществующими", мнимыми числами.

Если бы математики сказали, что мнимых чисел нет или они невозможны, они бы потеряли возможность находить реальные корни. Формула ломалась. Алгебра переставала работать в области, где она должна была работать идеально. Интересно, что корни из минуса появлялись именно в середине расчетов, а потом сокращались в конце, оставляя "нормальный" ответ. Они словно диалектически аннигилировали друг друга, показывая ученому-математику существуюий зазор в другие измерения, но возвращая в итоге ответ, удовлетворительный для "нашего" мира. Или, можно сказать, что математик, следуя за этими странными числами в расчетах, попадал в Зазеркалье как Алиса в известной сказке, а потом возвращался из этой "страны чудес" с "уловом" в виде нужных ответов.

Почему это действительно выглядит как путешествие в другие миры? Потому что все эти мнимые числа, корни из минуса и т.д. словно указывают на то, что помимо длины, ширины и высоты, есть еще какие-то размерности пространства и времени, нам недоступные. Словно сама ткань пространства и времени может разрываться, открывая для нас те оси реальности, которые обычно невидимы. "Мнимое" оказалось необходимым инструментом для описания действительного.

Продолжение 👇