Я пишу о философии математики, о диалектичности математики почти с самого начала возникновения моего канала. Я, следуя примеру Платона, всегда понимал, что математика важна и философ без математики - это просто словоблуд. Но я не представлял, насколько же сильно в действительности связаны математика и философия, математика и диалектика.

Раньше я думал, что математика структурирует ум, а её парадоксы - это парадоксы формальной логики, которые могут быть сняты через диалектическое расширение. Я поддался популярному, но упрощенному противопоставлению математики как логики формализма и статичности в противовес диалектике как логики движения и развития. Теперь же мне кажется, что диалектика пронизывает математику изнутри, математика сама по себе полностью диалектична. Математика и диалектика - не две разные логики, но проявления единого глубинного логического ядра Мироздания.

В этой связи хочу поделиться очередным, на мой взгляд, интересным конкретным примером проявления диалектического характера математики - комплексные числа.

Комплексные числа - это расширение обычных чисел, которое позволяет извлекать корень из отрицательных чисел. Если вещественные числа живут на прямой, то комплексные - на плоскости. Комплексные числа имеют вид a + bi, где i - это "мнимая единица" - число, квадрат которого равен -1.

Комплексные числа не "уничтожают" противоречие между положительными и отрицательными корнями, как по идее должно было бы быть, если бы математика и правда была бы плоско-формальной. Комплексные числа включают эти корни в более широкую систему, где они становятся естественными моментами.

В каком-то смысле комплексные числа можно рассматривать как синтез, разрешающий противоречие между "возможным" (положительные числа) и "невозможным" (отрицательные под корнем). Попробую объяснить по-простому.

Наш тезис - это числовая прямая ("мир реального"). Представьте себе обычную числовую прямую. Здесь есть 0 (центр), есть "плюс" (вправо) - это "наличие", "имущество", но есть и "минус" (влево) - это "долг", "направление назад". В этом мире действует железное правило: квадрат любого числа положителен (2 в квадрате дает 4, но и -2 в квадрате тоже дает 4).

Но вдруг возникает вопрос, порождающий антитезис: а какое число, умноженное само на себя, даст минус? Может ли вообще быть такое, чтобы x в квадрате дал -1? В мире числовой прямой (тезиса) этого быть не может. Это тупик, логическое противоречие. Либо мы говорим, что таких чисел не существует, либо мы признаем, что наша система неполна.

Так зарождается раскол и противоречие: "реальные числа" (которые мы понимаем) против "мнимых чисел" (которые кажутся абсурдом). Важно отметить, что это противоречие не возникло в математике просто из праздного любопытства: математики столкнулись с реальными формулами, расчеты в рамках которых требовали на определенных этапах корней из отрицательных чисел (открытие комплексных чисел - отдельная интересная история, возможно расскажу о ней потом). Поэтому просто ответить "нет, таких чисел не существует" не получилось. И пришлось искать синтез.

Синтезом стала числовая плоскость - те самые комплексные числа. Чтобы разрешить существующее противоречие, математики поняли, что нужно выйти из одномерной линии в двумерную плоскость.

Представьте, что умножение на -1 - это не просто "смена знака", а поворот на 180 градусов. Вы стояли лицом вправо (+1), затем вы умножили свою позицию на -1, то есть развернулись лицом влево. Тогда вопрос о корне из -1 теперь можно поставить так: какой поворот нужно сделать два раза, чтобы развернуться на 180 градусов? Ответ очевиден: поворот на 90 градусов. Если сделать поворот на 90 градусов один раз - вы окажетесь перпендикулярно прямой (вверху или внизу). Это и есть мнимая единица i. Если сделать поворот на 90 градусов второй раз - вы окажетесь лицом влево (-1).

Продолжение 👇