Возможен ли самостоятельный перезапуск контейнера?

Да, возможен. Docker задает различные политики перезапуска контейнера:
✍🏻 Off: контейнер не перезапускается, если он остановился или аварийно завершил работу;
✍🏻 On-failure: перезапуск только в случае аварийной остановки, но не по команде пользователя;
✍🏻 Unless-stopped: перезапуск будет работать до тех пор, пока пользователь его не остановит;
✍🏻 Always: перезапуск в любом случае, независимо от ошибок или других проблем.

Политику можно задать так:
$ docker run -dit — restart [unless-stopped|off|on-failure|always] [CONTAINER]