从单一运算符生成所有初等函数
Andrzej Odrzywołek

https://arxiv.org/abs/2603.21852v2

在数字硬件中，一个双输入门就足以实现所有布尔逻辑。但对于连续数学而言，此前从未发现过可与之媲美的原语：计算初等函数（如 sin、cos 和 log）一直需要多种不同的运算。在此，我们证明单个二元运算符，

eml(x,y) = exp(x) - ln(y)

连同常数 1 一起，可以生成科学计算器的全部标准函数库。这包括常数 e、π 和 i；算术运算 +、−、×、÷ 和幂运算，以及通常的超越函数和代数函数。例如，e^x = eml(x,1)，ln x = eml(1, eml(eml(1,x),1))，其他运算亦然。此前并未预料到这样的运算符的存在；我通过系统的穷举搜索发现了它，并从构造性角度证明它足以构成具体科学计算器的基础。在 EML（Exp-Minus-Log）形式中，每个这样的表达式都成为相同节点的二叉树，产生的文法简单到 S → 1 | eml(S,S)。这种统一结构也使得基于梯度的符号回归成为可能：将 EML 树作为可训练电路，配合标准优化器（Adam），我证明了在树深度不超过 4 的情况下，可以从数值数据中精确恢复闭式初等函数的可行性。同样的架构可以拟合任意数据，但当生成规律是初等函数时，它可能恢复出精确的公式。