📌 Несмещённая дисперсия, степени свободы и почему же n-1 (1/2)

Уже второй день в чатиках мелькает вопрос “почему при оценке несмещённой дисперсии мы делим на n-1”.

Тема не самая простая и наглядная, но давай попробуем разобраться.

Для начала о дисперсии.

Дисперсия — это мера оценки степени разброса или вариативности данных относительно среднего значения. Чтобы посчитать дисперсию в ГС, нужно:

🔵Вычислить среднее значение;

🔵 Вычислить разницу между каждым наблюдением и средним значением;

🔵Отклонение может быть в большую или меньшую сторону, поэтому каждое значение возводим в квадрат, чтобы избавиться от знаков;

🔵Сложить все получившиеся квадраты отклонений;

🔵Поделить их сумму на n (количество наблюдений).

Но если мы имеем дело с выборкой, а не с ГС, то делить нужно на n-1. А почему так?

Чтобы понять физический смысл этой операции, для начала нужно вспомнить концепцию степеней свободы.

Допустим, мы с друзьями решили скинуться на подарок. Нам нужна сумма в 100р., нас четверо. Первый принёс 30, второй 20, третий 25. Зная это и целевую сумму, последний должен принести ровно 25. Это не он так решил, а у него просто уже не осталось свободы выбора, т.к. он ограничен итоговой суммой.

В этом примере в начале у каждого из трёх первых друзей есть “свобода” принести любую сумму. Они могут решить, сколько именно денег внести, не зная, сколько внесут другие. Т.е. для первых трёх друзей есть три степени свободы, потому что каждый из них может внести разную сумму независимо от остальных.

Однако, когда дело доходит до последнего человека, у него уже нет такой же степени свободы, он должен соответствовать заранее определённому плану.

Т.е. если подытожить, в нашей выборке только 3 независимых наблюдения, а последнее всегда зависит от остальных и итоговой цели.