ultimately related

Еще ~во второй половине 2025 года LLM'ки научились генерировать доказательства нетривиальных математических фактов. В то время мы активно их юзали преимущественно для написания кода для компьютерных переборов, быстрой проверки гипотез, а также для поиска результатов в открытых источниках. Весной 2026 стало ясно, что новые модели способны конструировать многоходовые аргументы и придумывать новые трюки: пока не убедишься в этом на собственном опыте, новостные заголовки могут создавать впечатление удачных совпадений или каких-то нетривиальных путей использования сеток. В конце весны начали появляться отчеты, как сетки пачками решают нерешенные задачи, и летом этот тренд усилился. 19 июля Альпеге дропнул контрпример к трехмерной гипотезе Якобиана: одна из самых обсуждаемых новостей в июле, которая существенно увеличила внимание сообщества к AI-генерации математики.

Осенью 2025 появился прикольный проект Аристотель: система поиска верифицированных в Lean доказательств теорем. В марте 2026 они релизнули своего агента, доступного для всех онлайн, позволяющего вводить формулировки задач на естественном языке.

В теории групп есть известный сборник нерешенных задач, Коуровская тетрадь. Она издается регулярно с '65 года (крайнее издание вышло в День знаний 2026) и является общепризнанным средством коммуникации между ресерчерами в области. В тетрадь любой математик может отправить открытую задачу из теории групп, которая кажется ему достойной внимания. Поэтому в сборник попадают как фундаментальные задачи, носящие славу крайне трудных, так и менее значительные задачи, которые не решились по какой-то причине (например, потому что недостаточно людей думали над ними и путь решения не был замечен либо потому что opportunity cost слишком большой). 20 июля на arXiv был засабмичен препринт On Some Problems from the Kourovka Notebook четырех авторов. Все решения были найдены с помощью системы Аристотель и затем переведены авторами на человеческий язык ("деформализованы"). Этот препринт циркулировал по разным тг-чатикам и привлек наше внимание как занятный прецедент.

Параллельно с описываемыми событиями я и многие математики из близкого круга начинаем активнее пользоваться сетками в исследованиях: старые отложенные задачи получают новую жизнь, многие вещи удается сдвинуть с мертвой точки. Когда сигнатурные задачи не получается пробить, чтобы отвлечься и повысить мораль, мы апробируем сетки на разных задачах, которые кажутся прикольными (понятная постановка, вовлекающая фундаментальные понятия, или привлекательность для компьютерного перебора). К концу августа у нас накопилось какое-то количество решений. Я обсуждал с другом, что же нам с этим всем делать: по отдельности не все из них тянут на самостоятельную публикацию, а скорее на короткую заметку, но все равно хочется этим поделиться с сообществом. Мы решили сделать оммаж к работе четырех авторов и написать On Some More Problems from the Kourovka Notebook. Выбрали самые симпатичные задачки и перед дропом за еще пару ночей домайнили их количество до восьми.

Недавно выложили препринт: https://arxiv.org/abs/2608.29219. В нем пять задач из Коуровки и еще три из других источников.

Как мы пишем в работе, мотивация у нас такая: с одной стороны, сработал рефлекс публикации решений открытых задач, выработанный в пре-AI эпоху (раньше это был непосредственный способ продвигать знание, а сейчас это еще вклад в корпус текстов, на которых могут обучаться будущие модели), с другой стороны, мы хотели рассказать, как можно эффективно писать промпты и направлять сетки, если мы хотим добиться от них решения. Сейчас появляется много текстов, в которых результаты получены при активном взаимодействии с AI, а само взаимодействие редко описывается, и даже какие-то, как сейчас кажется, очевидные паттерны взаимодействия приходится переоткрывать вручную.

Я бы выделил такие инсайты (они больше относятся к "кладоискательной" математике, когда хочется понять ответ на какой-то конкретный вопрос, чем для long-term серьезных исследований — в случае последних сценарии использования совсем другие, и про них я как-нибудь напишу потом).

1. Сейчас математику умеют делать фронтир-модели (Codex ChatGPT 5.6 Sol и выше, Claude Opus 5 и выше), содержательные результаты извлечь из более слабой модели сложно. К сожалению, это не очень дешево, но из полезных соображений (опыт с ChatGPT): лучше покупать подписку за 200 баксов на x20 токенов и делить пополам с другом, чем за 100 баксов на x5 токенов. В зависимости от страны варьируется прайс, поэтому перед покупкой можно поперебирать варианты на официальном сайте.

2. Про отдельно взятую задачу имеет смысл в разных чатах просить как доказать, так и опровергнуть утверждение (даже если вы в него верите): возможно, правильный путь можно будет проще найти, когда обнаружится причина, почему контрпример не строится (впрочем, это относится и необязательно к AI-математике).

3. Если в чате долго не получается решить задачу, зачастую лучше сменить чат и начать с чистого листа (большинство решений в рамках одного чата получаются в течение не более пары часов). Причина проста: контекстное окно не слишком большое; если оно переполняется, сетка начинает его сжимать, циклиться на непродуктивных идеях, начинает меньше экспериментировать и блуждать, закапываясь в ложных путях.

4. Конечно, можно просто дать формулировку и попросить решить, иногда это работает. В противном случае подумайте, как бы вы решали эту задачу, какие были бы конкретные действия (что бы начали расписывать и какие проверки проводить), попросите сетку выполнить эти действия.

5. Нейросеть может находить неожиданные связи и искать нужные источники. Иногда она не находит нужный референс, и ей можно подсказать. Полезно просить ее скачать не просто препринт с архива, а скачать именно исходники теха и разархивировать: они почти всегда доступны на архиве, и по ним ей проще ориентироваться, чем по пдфке. Старые книжки в .djvu можно тоже просить OCR'ить в текст.

6. Стандартная практика — скормить сетке недавний текст с решением (либо новый препринт, либо что-то, что вы только что получили) и спросить, какие еще "соседние" задачи можно решить похожим методом. Иногда это может быть очень плодотворным ходом.

7. Если сетка циклится на промежуточном вопросе и не может решить его, попросите оформить его отдельно в self-contained .md-файл и скормите в соседнем чате. Так очень часто получалось сдвинуться с места. Полученное промежуточное решение также можно оформить в .md-файл и скормить в исходном диалоге.

8. Если не получается замкнуть доказательство, иногда помогает попросить концептуально взглянуть на полученные результаты и проинтерпретировать их в новом ключе.

9. Когда аргумент получен и выглядит убедительно, просите сетку оптимизировать текст, максимально упростить, оставить только самое нужное. За десяток итераций часто получается достигнуть человекопонимаемого текста, который можно осмыслить и грамотно оформить.

10. Даже если вам не нравится писать код, вы можете попросить сетку реализовать перебор или написать код для машинной проверки маленьких случаев, и она это с легкостью сделает. Если вам нравится писать код, то вы это уже знаете.

11. Сетка часто пугается, когда понимает, что вопрос открыт, и ее приходится уговаривать все равно не терять намерений думать. Тут нужно "мотивировать" ее, говорить, что нерешаемые задачи тоже решаются, просить проявлять стоические качества. Отличный козырь, если недавно вы решили смежную открытую задачу: можно показать это сетке, сказать, что ничего страшного, что задача открыта, вот недавно мы решили тоже открытую задачу. Удивительно, но это несколько раз был предпоследний промпт перед получением решения.

12. ...Пишите в комментариях свои наблюдения.

Всех с Годом знаний!

Напомню, что если X это grouplike H-пространство, то можно задать произведение Самельсона на сфероидах a∈π_p(X), b∈π_q(X):

<a, b>: S^{p+q} = S^p ∧ S^q → X ∧ X → X,

где вторая стрелка это коммутатор [a, b] = abAB (большой регистр означает взятие обратного). В частности, если X = ΩY, то есть произведение Самельсона на гомотопическом модуле π_*(X), которое с точностью до знака совпадает со скобкой Уайтхеда на π_*(Y).

Симплициальные группы это модели для петельных пространств, и поэтому можно попробовать записать произведение Самельсона симплициально. Вот как, например, выглядит симплициальная запись для произведения Самельсона G_3 x G_3 → G_6: нужно перемножить в таком порядке 20 коммутаторов от итерированных вырождений по всем (3, 3)-шаффлам. Я не пишу знаки, поскольку [a, b]⁻¹ = [b, a].

В комментах генератор таких записей для всех (p, q).

Словарик лимов для коинвариантов внешних степеней модуля соотношений

Рациональный словарик fr-языка для конечных групп

Давайте расскажу как доказывается наш основной рез

Мы проверяем, что обе подгруппы (циклы и границы комплекса) инвариантны относительно всех автоморфизмов P_n. Какие они бывают?

(1) Есть автоморфизмы, которые приходят из группы обычных кос, то есть образ вложения Aut(B_n) → Aut(P_n). у группы обычных кос автоморфизмов не так много, это внутренние автоморфизмы (сопряжения обычными косами), и ещё есть одно полупрямое слагаемое Z/2, отвечающее автоморфизму отражения относительно плоскости проекции χ_n, который меняет все типы перекрестков

(2) Есть центральные автоморфизмы Aut_c(P_n). Напомню, что автоморфизм группы G называется центральным, если он индуцирует тождественную стрелку на факторе по центру G/Z(G). Центр группы крашеных кос такой же как у группы кос: это бесконечная циклическая группа Z, порождённая косой "полным оборотом" z_n, также известной как квадрат элемента Гарсайда Δ_n (half-twist). Эту косу z_n можно представлять так: берем бельевую веревку с прямыми нитями натянутыми между двумя жердочками; разводим руки и натягиваем вервку как пружинный эспандер; одну жердочку держим неподвижно в левой руке, а правую проворачиваем на 360°. Таким образом, центральные автоморфизмы устроены так, что они каждую образующую домножают на какую-то степень центральной косы z_n. Можно даже выписать условие на то, в каких степенях можно домножать, в терминах коэффициентов зацеплений, но нам это не понадобится

(3) Оказывается, чтобы добить до порождающего множества Aut(P_n), остается добавить еще один исключительный автоморфизм ω_n. Он как раз меняет местами 0й и какой-нибудь настоящий проколы. Физически он устроен как выворачивание Мёбиуса (меняем бесконечно-удаленную точку с настоящей)

Порождающее множество для Aut(P_n) было найдено Дэниелом Коэном в 2012, основываясь на классическом результате Коркмаца Aut(P_n / Z(P_n)) = MCG(S², n+1). В 2017 Бардаков, Нещадим и Сингх показали, что избавиться от исключительного автоморфизма нельзя, и нашли самое экономное порождающее множество. Вместо этого исключительного автоморфизма ω_n можно брать другие похожие (все они устроены как определенное выворачивание). Например, можно брать автоморфизм θ_n Джи Ву и ко., с помощью него определяется дифференциал в комплексе Brun_*. Еще можно брать одноименный автоморфизм θ_n Даши (у нее θ это автоморфизм моноида струнных зацеплений, который связан с тета-графами)

Дальше остается проверить, что все автоморфизмы сохраняют циклы SBrun_n = Brun_n ∩ ST_n и границы Bd_n = [Brun_n, ST_n] комплекса Brun_*, это дело техники. Вычисления подтверждают наивную, но верную мысль: чем более инвариантно и канонично записываются подструктуры, тем более эффективно можно наблюдать, как они трансформируются. В принципе, это верно не только по отношению к подструктурам, но и ко многим вещам в математике

Мы видели, что ядра удаления нитей не являются характеристическими подгруппами в P_n, и причина этому такая, что эти подгруппы не нормальны в B_n. Группу кос B_n можно отождествить с группой классов отображений (mapping class group) диска с n проколами

B_n = MCG(D², n),

то есть группу неподвижных на границе автогомеоморфизмов D² \ {p_1, ..., p_n} с точностью до автоизотопий

Группа кос B_n порождается элементарными перекрестками σ_1, ..., σ_{n-1}, где σ_i это пересечение iй и i+1й нитей. В терминах группы классов отображений можно мыслить эти генераторы как скручивания Дена. Если вы никогда не слышали про них, то самый простой способ представить это интуиция манекенов. Представьте, что диск это деревянный твердый диск, и на него "надета" резиновая пленка с n проделанными дырками. Теперь вставьте пальцы в соседние две дырки и прокрутите на 180°. Получившееся отображение [старая координата резинки ↦ новая] это скручивание Дена σ_i, которое меняет местами два прокола

Вместо условия неподвижности на крае можно сделать следующее. Заклеим диск проколотой шапочкой D² \ q по краю, тогда D² \ {p_1, ..., p_n} превратится в сферу S² с n+1 проколом {q, p_1, ..., p_n}. Есть стрелка B_n = MCG(D², n) → MCG(S², n+1), которая выбирает в группе классов сферы такие отображения, которые оставляют новый прокол q на месте. Мы не будем говорить сейчас про ядро или коядро этой стрелки, но вместо этого мы заметим, что граница диска ведёт себя как фантомная нить. Оказывается чудо в том, что есть автоморфизмы P_n, меняющие эту фантомную нить с настоящей (аналогично тому, как сопряжения обычными косами переставляют настоящие нити; только теперь сопрягать нужно в некотором расширении группы классов отображений новыми скручиваниями)

Эту фантомную нить мы часто называем нулевой, потому что это хорошо согласуется с разными формулами. Что такое ядро удаления 0-нити? Есть следующая удобная визуализация

Чтобы удалить i-ую нить, можно действовать так:

(1) представим график косы, это какие-то нити, болтающиеся в цилиндре D² × I

(2) раздуем каждую нить до полой трубки ненулевой толщины, то есть теперь коса это набор переплетающихся туннелей в заполненном цилиндре из какого-то плотного материала

(3) чтобы удалить i-ую нить, нужно взять заполненный цилиндр D² × I и заклеить им соответствующую трубку, засыпать туннель материалом

В этом смысле чтобы удалить 0-нить, нужно вклеить цилиндр в дополнение к 0-проколу aka заклеить внешний прокол = стенку цилиндра. Так как D² U_S¹ D² = S², это означает что удалить 0-нить = трансплантировать косу на сферу

d_i: P_n → P_{n-1}, 1 ≤ i ≤ n
d_0: P_n →P_n(S²)

Шаг (2) нужен для того, чтобы удаление 0-нити и настоящих нитей были единообразны

Так как роли настоящих нитей и роль 0-нити могут меняться под действием автоморфизмов P_n (но не B_n), подгруппа супербрунновых кос

SBrun_n = ∩_{i = 0}^n Ker(d_i) = Brun_n ∩ ST_n

уже имеет больше шансов оказаться характеристической. По совпадению эта подгруппа оказывается циклами комплекса из предыдущего поста

Замечу, что 0-нить и оставшиеся не совсем равноправны. В то время как Ker(d_i) это свободная группа ранга n-1, Ker(d_0) это F_{n-1} × Z. В пересечении всех ядер эта разница нивелируется. Причина этому следующая: слагаемое Z порождается квадратом центральной косы, брунновы косы Brun_n лежат в коммутанте P_n (имеют нулевые коэффициенты зацепления между любыми нитями), а центр группы кос тривиально пересекается с коммутантом

Перед объяснением этого феномена, давайте я расскажу, как можно мыслить гомологии комплекса Brun_*

Это красивый сюжет, который может передать ощущение, почему мы это изучаем

Косы можно аналогично рассматривать на любых поверхностях M, отличных от диска

P_n(M) := π_1(Conf(M, n))

Для нас особенно примечательны группы кос на сфере S² и на RP², там много экзотических брунновых кос

Одноточечная компактификация диска D² → S² индуцирует стрелку P_n → P_n(S²). Пусть ST_n := Ker(P_n → P_n(S²)) подгруппа сферически тривиальных кос, то есть кос, которые тривиализуются, если позволить во время гомотопии танца точек проходить через бесконечно удалённую точку

Тогда H_n(Brun_*) это фактор Brun_n ∩ ST_n по [Brun_n, ST_n]. Иначе говоря, если рассмотреть пушаут X классифицирующих пространств P_n/Brun_n ← P_n → P_n(S²), то π_2(X) = π_n(S²)

Ещё несложно показать, что пересечение Brun_n ∩ ST_n изоморфно группе брунновых кос на сфере на n+1 нити, а взаимный коммутант [Brun_n, ST_n] это в точности то, что брунновы косы на диске высекают в брунновых косах на сфере. Иначе говоря,

π_n(S²) = Coker(Brun_{n+1}(D²) → Brun_{n+1}(S²)),

то есть гомотопические группы сферы это препятствия к тому, чтобы бруннова коса на сфере приходила с брунновой на диске

Как понять что-то отсюда про гомотопические группы неясно, зато появляются забавные импликации про косы, которые неясно как доказывать комбинаторно:

Пусть β и γ брунновы косы на сфере на n нитях
1) коммутатор [β, γ] обязательно приходит с брунновой косы на диске
2) β^{n!} обязательно приходит с брунновой на диске (это из того, что первое p-кручение появляется в π_{2p}, можно чуть улучшить оценку)
3) если β⁸ приходит с диска, то β⁴ приходит с диска; для нечетных p если β^{p²} приходит с диска, то и β^p
4) для любого n фактор Brun_n(S²) / Im(Brun_n) конечен
5) Всегда найдется бруннова коса на сфере, не приходящая с диска

Если подобные факты научиться понимать комбинаторно, то получатся новые доказательства для сложных теорем об экспонентах в гомотопических группах сфер. Например, нечетные экспоненты это теорема Зелика, которая доказывается с помощью существования на S³ структуры группы

Нашу совместку приняли в HHA, залили на архив последнюю ревизию https://arxiv.org/abs/2112.05805

Давайте расскажу, что здесь происходит, это наш старый проект ещё с лета 2021 года

Группа крашеных кос P_n это π_1 от конфигурационного пространства n упорядоченных точек в диске Conf(D², n) := Emb({1, ..., n}, D²). Коса это танец точек на диске. График косы живёт в цилиндре D² × I. Если проследить, что описывает одна наблюдаемая точка, то получится то, что называется нитью косы

Группа обычных кос B_n определяется также, только нужно забыть порядок точек. Если в крашеной косе нити индуцируют тождественную перестановку n точек на диске, то в обычной косе нити могут переставлять пунктуры. P_n это нормальная подгруппа в B_n индекса n факториал

Мы искали характеристические подгруппы в группе крашеных кос P_n. Подгруппа называется характеристической, если никакой автоморфизм группы не выводит эту подгруппу из себя. Характеристические подгруппы интересны, потому что они отражают внутреннюю структуру группы; условно говоря, они не зависят от того, какое порождающее множество мы зафиксировали, какой выбрали базис

Вот например, можно рассмотреть ядро гомоморфизма удаления i-ой нити d_i: P_n → P_{n-1}. Оно состоит из кос, которые тривиализуются при удалении i-ой нити. Стандартный аргумент с объемлющей изотопией показывает, что это в точности косы, которые получаются из тривиальной косы на меньшем числе нитей добавлением i-ой нити, которая как-то может оплетаться вокруг оставшихся

Для любой обычной косы β из B_n есть автоморфизм группы крашеных кос P_n, заданный сопряжением x ↦ β^{-1} x β. Если взять косу β с нетривиальной перестановкой π_β, то сопряжение этой косой будет переставлять ядра удаления разных нитей (в соответствии с π_β). Поэтому Ker(d_i) это не характеристическая подгруппа

Вообще говоря, можно заметить, что любой автоморфизм B_n сужается до автоморфизма P_n, и поэтому, в частности, любая характеристическая подгруппа в P_n обязана быть нормальной в B_n. Ядра удаления нитей Ker(d_i) нормальны в P_n, но не в B_n (удаление i-ой нити для обычных кос B_n → B_{n-1} это корректно заданная операция, но не гомоморфизм)

Давайте пересечем ядра удаления всех нитей. Получится подгруппа брунновых кос (напомню, что коса называется брунновой, если она тривиализуется при удалении любой из ее нитей):

Brun_n = ∩_{i = 1}^n Ker(d_i)

Это подгруппа уже является нормальной в B_n, но оказывается, что она по прежнему не является характеристической!

Прежде чем переходить к объяснению, я хочу сформулировать наш результат

В 2006 Джи Ву, Фред Коэн и другие предложили цепной комплекс (неабелевых) групп

... → Brun_n → Brun_{n-1} → ... → 1,

n-ые гомологии которого абстрактно изоморфны n-ой гомотопической группе 2-сферы

Мы доказали, что циклы и границы этого комплекса является характеристическими подгруппами в P_n. Тем самым, автоморфизмы групп крашеных кос действуют на гомотопических классах сфероидов в S². Илья посчитал это действие для n = 3. Генератор π_3(S²) = Z, расслоение Хопфа η, представляется брунновой косой на 3 нитях, замыкание которой даёт кольца Борромео. Из вычислений Ильи следует, что есть автоморфизмы P_n, которые отправляют η в -η, что показывает, что это действие нетривиально

Башня Уайтхеда и p-пополнения (3/3)

Напомним, что с каждым пространством X можно связать его башню Уайтхеда X ← X<1> ← X<2> ← X<3> ← ...
Она характеризуется тем, что X<n> n-связно (то есть нет гомотопических групп ниже n+1), и индуцирует изоморфизм с X на всех гомотопических группах, начиная с n+1. Например, X<1> это универсальное накрытие пространства. То есть мы режем пространство снизу, зануляя младшие группы. Казалось бы, проводя такую процедуру, мы забываем много информации о гомотопическом типе (его начальный сегмент). Например, можно несложно показать, что второй этаж башни Уайтхеда двумерной сферы — это трехмерная сфера: S^2<2> = S^3

Так вот, оказывается, что в mild предположениях весь гомотопический тип восстанавливается из любого этажа своей башни Уайтхеда с точностью до p-пополнения!

Эти mild предположения: подходит любой конечный 1½-связный клеточный комплекс (пространство называется 1½-связным, если оно 1-связно, и π_2 это группа кручения — такую нотацию предложил Joseph Roitberg). Восстанавливается пространство с помощью необычной локализации — нужно убить пространство Эйленберга-Маклейна K(Z/p, 1) = BZ/p

Теорема (об экзотической локализации)
Пусть X конечный 1½-связный клеточный комплекс. Тогда L_BZ/p(X<n>) эквивалентно X после p-пополнения для любого n

То есть оказывается, что mod p-гомотопические типы табулированы по довольно жестким колеям: если мы видим поведение на бесконечности, мы можем аккуратно восстановить то, что скрыто от наших глаз из начального сегмента

Не менее удивительны импликации из этой теоремы. Например, так можно доказать гипотезу Серра

Теорема Серра
Если X нестягиваемый односвязный конечный комплекс, то его гомотопические группы нетривиальны в бесконечном числе размерностей

Эта теорема говорит о том, что гомотопические группы каких-то конечных объектов не бывают никогда просто устроены

Есть далеко идущее обобщение, которое Серр оставил в качестве гипотезы

Гипотеза Серра
Если гомологии mod p односвязного конечного комплекса нетривиальны, то гомотопические группы содержат p-кручение в сколь угодно больших размерностях

В частности, отсюда следует, что в гомотопических группах любой сферы каждое p-кручение реализуется, и реализуется в бесконечном числе размерностей!

Можно вывести теорему Серра из теоремы об экзотической локализации вот так. Сначала нужно свести к 1½-связному случаю, убив свободную часть в π_2; затем нужно перейти к p-пополнению (и убедиться, что теорема об экзотической локализации будет по прежнему применима). А далее все просто: если гомотопические группы зануляются mod p при k > n, то в принципе все гомотопические группы зануляются при k > n (так как X p-полно), следовательно, X<n> стягиваемо, и L_BZ/p X<n> ~ *. С другой стороны, p-пополнение левой части эквивалентности это [p-пополнение X] = X — противоречие с нестягиваемостью!

Из теоремы Серра в доказанной форме можно вывести гипотезу Серра, пользуясь теоремой Миллера

Хорошая экспозиция по локализациям — заметка A Quick Trip through Localization Нейзендорфера

Башня Уайтхеда и p-пополнения (2/3)

Локализации пространств активно начал изучать Деннис Сулливан. В своей книге с говорящим названием "Geometric Topology" он пишет

«This compulsion to localize began with the author’s work on invariants of combinatorial manifolds in 1965-67. It was clear from the beginning that the prime 2 and the odd primes had to be treated differently...»

Любая конечная абелева группа раскладывается канонически в прямую сумму своих p-примарных компонент (i.e. где оставили только p^n-кручение). Технически же иногда оказывается проще доказывать теорему для разных простых по отдельности, чем выписывать рассуждение сразу целочисленно. Эта философия иногда называется 'one prime at a time'

Частично раскроем карты касательно конкретно p-пополнения. p-пополнение это эндофунктор ^_p: Ab → Ab, который по конечно порожденной абелевой группе A возвращает обратный предел по проективной системе A ← A/p ← A/p^2 ← A/p^3 ← ... (точно также как в определении p-адических чисел). Если применять к конкретным абелевым группам, то он убивает все кручение взаимно простое с p, не трогает p-примарную компоненту и Z меняет на p-адические целые Z_p

(это технический момент, главное, что p-пополнение оставляет из кручения только p-примарную часть)

Чтобы реализовать p-пополнение на уровне односвязных пространств, нужно обратить M = M_1(Z[1/p]) — пространство Мура, у которого первые гомологии это Z[1/p], а остальные нулевые. Явная модель для M — гомотопический копредел S^1 → S^1 → S^1 → ..., где все стрелки действуют умножением на p

Если у пространства гомотопические группы конечно порождены (например, если это клеточный комплекс, у которого в каждой размерности конечное число клеток), то гомотопические группы p-пополнения X = p-пополнение гомотопических групп X

Расскажу про один занимательный сюжет из теории гомотопий

Башня Уайтхеда и p-пополнения (1/3)

Контекст:
пространства = объекты хорошей категории пространств с отмеченной точкой Spc
map(-, -) = внутренний хом в этой категории (aka пространство отображений)
[-, -] = гомотопический хом (π_0 от map)

Начнем с описания техники локализаций

Пусть M пространство. Локализация Боусфилда это универсальная процедура деформирования гомотопической категории таким образом, чтобы пространство M стало стягиваемым. Работает она так: мы строим эндофунктор на пространствах, который по пространству X возвращает некоторое универсальное пространство L_M(X), в которое нельзя никак нетривиально отобразиться из M (такие пространства называются M-локальными), а затем мы говорим, что непрерывное отображение X → Y является M-эквивалентностью, если L_M(X) → L_M(Y) это эквивалентность. Это приводит к такой теории гомотопий mod M

Теперь подробнее. Пространство B называется M-локальным, если пространство отображений map(M, B) стягиваемо (можно было бы потребовать просто [M, B] = 0, это означало бы, что любое отображение M → B нульгомотопно; мы же требуем чуть больше — чтобы любое отображение было гомотопно постоянному, и стягивающая гомотопия была единственна с точностью до стягиваемого выбора). Стрелка X → Y называется M-эквивалентностью, если для любого M-локального B выполнено map(B, Y) → map(B, X) это эквивалентность

Такое определение вдохновлено леммой Йонеды. Мы знаем, что стрелка изоморфизм iff Hom(B, f) изоморфизм для любого объекта B (вложение Йонеды категории C в предпучки Fun(C^op, Set) это полное вложение, поэтому отражает изоморфизмы). Для M-эквивалентности нам достаточно чтобы стрелка вела себя как эквивалентность при тестировании только пространствами, в которых M уже убито

M-локализацией X называется стрелка i: X → L_M(X), для которой (1) L_M(X) является M-локальным; (2) X → L_M(X) это M-эквивалентность

Условие (2) можно равносильно расписать универсальным свойством: любая стрелка X → A в M-локальное должна пропускаться (гомотопически единственным способом) через M-локализацию L_M(X)

Можно показать, что для любого связного M существует функториальная локализация L_M: Spc → Spc. Доказательство существования L_M(X) итеративное: убиваем все стрелки из M в X, затем убиваем стрелки в том, что получилось, и так далее (потребуется трансфинитная индукция)

Простое упражнение по йоге: стрелка X → Y является M-эквивалентностью iff L_M(X) → L_M(Y) это эквивалентность. В общем, мы получили, что и хотели

На практике это применяется, например, вот так:

(а) есть рефлективные локализации абелевых групп F: Ab → Ab, например: рационализация — убить все кручение, p-пополнение — оставить только p-примарную компоненту в кручении и т. д.

(б) переносим ее на пространства, то есть ищем M, для которого π_n(L_M(X)) = F(π_n(X)) (вместо гомотопических групп могут быть любые другие инварианты типа (ко)гомологий). Например, рационализация односвязного пространства это другое пространство, у которого гомотопические группы это Q-векторные пространства (все кручение умирает)

(в) применяем классические теоремы к локализации, получаем бесплатно локальную версию (с помощью p-пополнения пространств можно вывести теорему Гуревича mod p, например)

О локализации можно думать как о дифракционных очках: вы оставляете в пространстве только интересную вам информацию: с точки зрения рациональной теории гомотопий трехмерная сфера не отличима от K(Z, 3), а через p-примарные линзы мы видим только информацию о p-кручении в пространстве (а свободная часть меняется на p-адики)

Про группу майского дерева:

https://divisbyzero.com/2009/05/04/the-maypole-braid-group/
(косы с нитями, заплетенными вокруг дерева — как обычная группа кос Артина, но арифметика индексов вся mod n)

Свободная группа ранга n порождается n+1 элементом как моноид:

x_1^{-1}, ..., x_n^{-1}, x_1...x_n

А n элементами не порождается, потому что эпиморфный образ Z^n нельзя породить n элементами как моноид (эти n элементов a_i были бы линейно независимы, и -sum a_i не может лежать в моноиде порождённом ими)

Пример из степиного текста про иероглифы https://www.math.univ-toulouse.fr/~orevkov/mayaps-d.pdf