Решал вчера упражнения из учебника Хартсхорна по алгебраической геометрии. С предметом я знаком давно, но большинство задач для решения пропускал.
По-моему, достаточно симпатично, и не вполне тривиально:
Рассмотрим кривую в трехмерном пространстве, заданную параметрически как (t^3, t^4, t^5).
Пусть I множество многочленов P(x, y, z) обращающихся в ноль на всей этой кривой. Тогда размерность I это два (что вполне соответствует геометрической интуиции, ибо размерность кривой равна 1), но при этом I нельзя породить двумя элементами как идеал!
То есть, вообще говоря, неверно, что понятие размерности и количества образующих совпадают (даже в случае алгебр над алгебраически замкнутыми полями!).
Кстати, тем не менее можно установить неравенство: если идеал I кольца многочлена от n переменных порождается m функциями, то размерность любой непроводимой компоненты, отвечающей множеству нулей I, по крайней мере n - m.