Тайная проективная связь медианы и вписанной окружности

Недавно завершился ЮМТ, хороши турнир для школьников по математике. На мой взгляд, самое красивое геометрическое утверждение было предложено Саввой Чуевым и Даниилом Игнатьевым:

Из точки пересечения медиан треугольника проведи касательные ко вписанной в треугольник окружности. Тогда две точки основания касательных в этом треугольнике изотомически сопряжены.

*** Точки P и Q внутри треугольника ABC называются изотомически сопряженными, если лучи AP и AQ пересекают BC в точках, симметричных относительно середины отрезка BC, и такое же условие должно быть выполнено для пар лучей BP, BQ и CP, CQ

Задача не показалось мне сложной, я решил ее довольно быстро, однако сама по себе формулировка меня впечатлила.

Интересно, что задача имеет тесную связь с фактом, который я выдавал на олимпиаде Шарыгина в позапрошлом году:

На стороне BC треугольника ABC выбраны точки P и Q, симметричные относительно ее середины. Лучи AP и AQ пересекают описанную окружность в вершинах четырехугольника, тогда точка пересечения диагоналей этого четырехугольника лежит на медиане ABC, исходящей из вершины A.

Факт с олимпиады означает, что поляра пересечения ненарисованных сторон четырехугольника это и есть медиана. Тогда за счет полярного соответствия пересечение касательных к двум нижним вершинам четырехугольника лежит на медиане.

Последнее же наблюдение есть не что иное, как понятная переформулировка задачи с ЮМТ: для любой точки X на медиане AM вне вписанной окружности, если провести из нее касательные XP и XQ, то лучи AP и AQ пересекут BC в точках, симметричных относительно середины BC. Применяя факт ко всем трем медианам получим утверждение задачи.

Задачу с олимпиады Шарыгина проще всего решить умным проективным преобразованием, которое сохраняет окружность и бесконечность прямой BC, а точку A отправляет на бесконечность. Естественно, задача с ЮМТ решается таким же трюком и напрямую :)

Кстати, коллеги сделали книжечку по мотивам прошлого ЮМТ, посвященную геометрическим задачам оттуда — наверняка среди моих читателей найдутся любители и такого контента.