Новое доказательство теоремы о бабочке

Кажется, я нашел новое занятное доказательство теоремы о бабочке. В нем есть небольшая техническая дыра, но ее не очень сложно заделать.

Теорема о бабочке. Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Через P проведена прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в паре красных точек, а окружность в паре синих. Тогда $P$ середина отрезка из красных точек в том и только в том случае, когда она середина отрезка из синих точек.

Доказательство: отметим точку $S$ пересечения прямых $AB$ и $CD$. Пусть $\ell$ прямая, проходящая через $S$ параллельно $\ell$. Сделаем проективное преобразование, сохраняющее окужность и отправляющее $\ell$ на бесконечность (это тонкое место). Легко видеть, что на прямой $\ell$ это преобразование аффинно, потому условие задачи про середины сохраняется. С другой стороны, остался очевидный факт либо про трапецию, либо про прямоугольник.